Προσομοιώσεις · Γ΄ Γυμνασίου · Ηλεκτρισμός · Κεφ. 2 · §2.4

Από τι εξαρτάται η αντίσταση ενός αγωγού

Με απλά λόγια

Οι περισσότεροι νομίζουν ότι η αντίσταση σημαίνει ιδιότητα του υλικού: ο χαλκός έχει μικρή αντίσταση, ο σίδηρος μεγάλη, και τέλος.

Το υλικό μετράει, αλλά μόνο για το μισό. Κάθε υλικό έχει μια ειδική αντίσταση, το ρ, που λέει πόσο δύσκολα περνούν τα ηλεκτρόνια από ένα κομματάκι του. Η αντίσταση όμως ενός συγκεκριμένου σύρματος εξαρτάται και από το σχήμα του.

Σε μακρύτερο σύρμα η διαδρομή έχει περισσότερα εμπόδια, ενώ ένα χοντρότερο σύρμα προσφέρει περισσότερους δρόμους δίπλα δίπλα. Όλα μαζί γράφονται R = ρ·ℓ διά A, όπου ℓ το μήκος και A το εμβαδό της τομής. Και η ζέστη προσθέτει εμπόδια.

Ένας δρόμος στην πόλη δουλεύει παρόμοια. Όσο πιο μακρύς, τόσο περισσότερα φανάρια και τόσο μεγαλύτερη καθυστέρηση.

Με περισσότερες λωρίδες περνούν περισσότερα αυτοκίνητα μαζί. Σε άλλη πόλη η άσφαλτος είναι αλλιώτικη, όπως το υλικό, και στην ώρα αιχμής, που παίζει τον ρόλο της ζέστης, όλα πάνε πιο αργά.

Το βλέπεις και στο σπίτι σου. Το καλώδιο της κουζίνας ή του θερμοσίφωνα είναι πιο χοντρό από του φωτιστικού, γιατί από εκεί περνά πολύ ρεύμα και χρειάζεται μικρή αντίσταση για να μη ζεσταίνεται. Και σε πολλά παλιά ραδιόφωνα το κουμπί της έντασης απλώς άλλαζε το μήκος μιας διαδρομής με αντίσταση.

Κάτι που τώρα ξέρεις, ενώ οι περισσότεροι ενήλικες δεν το ξέρουν: ένα χοντρό σιδερένιο σύρμα μπορεί να έχει μικρότερη αντίσταση από ένα πολύ λεπτό σύρμα χαλκού. Όμως ο χαλκός είναι «καλύτερος αγωγός».

Θεωρία

Η αντίσταση ενός σύρματος

Το καλώδιο της ηλεκτρικής κουζίνας ή του θερμοσίφωνα είναι πολύ πιο χοντρό από το καλωδιάκι του φορτιστή του κινητού, κι ας είναι και τα δύο από χαλκό. Από την κουζίνα περνά πολύ ρεύμα, και ένα λεπτό καλώδιο στη θέση του θα ζεσταινόταν επικίνδυνα. Γιατί μετράει τόσο το πάχος, και από τι άλλο εξαρτάται η αντίσταση ενός σύρματος;

Στην προσομοίωση ξεκινάς με ένα σύρμα χαλκού μήκους 1 m, με διατομή 1 mm², στους 20 °C: η αντίστασή του είναι 0,017 Ω. Πάτησε «Κράτα για σύγκριση» και κάνε το μήκος 2 m.

Η αντίσταση γίνεται 0,034 Ω, διπλάσια. Γύρισε το μήκος στο 1 m και κάνε τη διατομή 2 mm²: η αντίσταση πέφτει στα 8,5·10⁻³ Ω (0,0085 Ω), στο μισό.

Στο κύκλωμα νερού, το σύρμα είναι ο στενός σωλήνας. Σε έναν μακρύτερο σωλήνα το νερό τρίβεται σε περισσότερο τοίχωμα, και με την ίδια διαφορά πίεσης περνούν λιγότερα λίτρα το δευτερόλεπτο.

Σε έναν φαρδύτερο σωλήνα το νερό κυλά σε περισσότερο χώρο δίπλα δίπλα και περνούν περισσότερα. Αν ο σωλήνας είναι τραχύς από μέσα, το νερό δυσκολεύεται ακόμα πιο πολύ: αυτό παίζει τον ρόλο του υλικού.

Το σύρμα σαν σωλήνας
Σωλήνας νερού	Σύρμα
μήκος του σωλήνα	μήκος ℓ του σύρματος
πόσο φαρδύς είναι ο σωλήνας	εμβαδόν διατομής A
πόσο τραχύς είναι ο σωλήνας από μέσα	υλικό του σύρματος: ειδική αντίσταση ρ
πόσο δύσκολα περνά το νερό από όλο τον σωλήνα	αντίσταση R του σύρματος

Πού σταματά η αναλογία. Σε έναν πραγματικό σωλήνα, με διπλάσιο εμβαδόν τομής το νερό που περνά γίνεται πολύ περισσότερο από διπλάσιο.

Στο σύρμα η σχέση είναι ακριβής: διπλάσια διατομή, ακριβώς μισή αντίσταση. Επίσης τα εμπόδια του μετάλλου δεν βρίσκονται μόνο στα τοιχώματα, όπως η τραχύτητα, αλλά σε όλο του τον όγκο: είναι τα ίδια τα ιόντα.

Όταν τα ελεύθερα ηλεκτρόνια κινούνται μέσα σε ένα μεταλλικό σύρμα, συγκρούονται με τα ιόντα του μετάλλου. Γι’ αυτό κάθε σύρμα δυσκολεύει λίγο ή πολύ τη διέλευση του ρεύματος: έχει αντίσταση R, με μονάδα το 1 Ω (ωμ). Η αντίσταση ενός σύρματος εξαρτάται από:

το μήκος του ℓ: διπλάσιο μήκος → διπλάσια αντίσταση (ανάλογα ποσά),
το εμβαδόν της διατομής του A: διπλάσια διατομή → μισή αντίσταση (αντιστρόφως ανάλογα ποσά),
το υλικό του: κάθε υλικό έχει τη δική του ειδική αντίσταση ρ,
τη θερμοκρασία του.

Όλα αυτά μαζί γράφονται:

R = ρ · ℓ διά A

Με ℓ σε m και A σε m², η ρ μετριέται σε Ω·m. Θυμήσου ότι 1 mm² = 10⁻⁶ m²: πρέπει πάντα να μετατρέπεις τη διατομή σε m² πριν αντικαταστήσεις στον τύπο.

Λυμένο παράδειγμα 1

Δεδομένα

σύρμα χαλκού: ρ = 1,7·10⁻⁸ Ω·m, ℓ = 1 m, A = 1 mm²

Ζητούμενο

Η αντίσταση R του σύρματος

Τύπος

R = ρ · ℓA

Υπολογισμός

Πρώτα μετατρέπεις τη διατομή: A = 1 mm² = 10⁻⁶ m².

R = 1,7·10⁻⁸ · 1 διά 10⁻⁶

R = 0,017 Ω

Απάντηση

Η αντίσταση είναι 0,017 Ω, όσο δείχνει και η προσομοίωση για αυτό το σύρμα.

Συχνό λάθος: ξεχνάς να μετατρέψεις mm² σε m² και αντικαθιστάς A = 1 αντί για A = 10⁻⁶ στον τύπο. Τότε το αποτέλεσμα βγαίνει ένα εκατομμύριο φορές μικρότερο απ’ όσο πρέπει. Πάντα μετέτρεψε πρώτα τις μονάδες, μετά αντικατέστησε.

Γρήγορος έλεγχος: Ένας φίλος σου λέει: «Το χοντρό σύρμα έχει περισσότερο μέταλλο, άρα περισσότερα ιόντα για να σκοντάφτουν τα ηλεκτρόνια, άρα μεγαλύτερη αντίσταση». Έχει δίκιο;

Απάντηση

Όχι. Κάθε ηλεκτρόνιο συναντά περίπου τα ίδια εμπόδια σε κάθε μέτρο του δρόμου του, όσο χοντρό κι αν είναι το σύρμα. Στο χοντρό σύρμα όμως κινούνται πολύ περισσότερα ηλεκτρόνια δίπλα δίπλα, άρα περνά περισσότερο ρεύμα με την ίδια τάση. Με διπλάσια διατομή η αντίσταση γίνεται η μισή: για το σύρμα χαλκού του 1 m, από 0,017 Ω σε 0,0085 Ω.

Το υλικό και η ειδική αντίσταση

Ο σίδηρος είναι πολύ φθηνότερος από τον χαλκό, κι όμως τα καλώδια του σπιτιού είναι από χαλκό. Από την άλλη, στα κυκλώματα χρειαζόμαστε και αντιστάτες, που πρέπει επίτηδες να δυσκολεύουν το ρεύμα. Τι κάνει ένα υλικό καλό για καλώδιο και ένα άλλο καλό για αντιστάτη;

Κράτα για σύγκριση το σύρμα χαλκού (1 m, 1 mm², 20 °C) και διάλεξε σίδηρο. Με τις ίδιες διαστάσεις η αντίσταση γίνεται 0,1 Ω, περίπου 6 φορές μεγαλύτερη.

Με κονσταντάνη γίνεται 0,49 Ω, περίπου 29 φορές όση του χαλκού. Στην εικόνα του σωλήνα, άλλαξες μόνο την τραχύτητα του εσωτερικού και κράτησες ίδιο το μήκος και το πλάτος.

Ειδική αντίσταση στους 20 °C (τιμές της προσομοίωσης)
Υλικό	ρ (Ω·m)	Με τη θέρμανση
χαλκός	1,7·10⁻⁸	αυξάνεται πολύ
αλουμίνιο	2,8·10⁻⁸	αυξάνεται πολύ
σίδηρος	10·10⁻⁸	αυξάνεται πολύ
νικελίνη	40·10⁻⁸	αυξάνεται λίγο
κονσταντάνη	49·10⁻⁸	σχεδόν δεν αλλάζει

Η ειδική αντίσταση ρ είναι ιδιότητα του υλικού και όχι ενός συγκεκριμένου σύρματος. Ο χαλκός και το αλουμίνιο έχουν μικρή ειδική αντίσταση: από αυτά φτιάχνουμε τα καλώδια. Η νικελίνη και η κονσταντάνη έχουν μεγάλη: από αυτές φτιάχνουμε σύρματα για αντιστάτες, εξαρτήματα με ορισμένη αντίσταση.

Λυμένο παράδειγμα 2

Δεδομένα: σύρμα σιδήρου: ρ = 10·10⁻⁸ Ω·m, ℓ = 1 m, A = 1 mm² = 10⁻⁶ m²
Ζητούμενο: Η αντίσταση R του σύρματος
Τύπος: R = ρ · ℓ διά A
Υπολογισμός: Συμπλήρωσε: R = 10·10⁻⁸ · 1 διά 10⁻⁶ = ___
Απάντηση: Συμπλήρωσε την R παραπάνω και σύγκρινέ τη με τα 0,017 Ω του χάλκινου σύρματος στο παράδειγμα 1, που έχει τις ίδιες διαστάσεις.

Απάντηση

R = 0,1 Ω, περίπου έξι φορές περισσότερο από το σύρμα χαλκού με τις ίδιες διαστάσεις.

Πρόβλεψε: Κόβεις ένα σύρμα κονσταντάνης στη μέση. Τι γίνεται η ειδική αντίσταση κάθε κομματιού και τι η αντίστασή του;

Απάντηση

Η ειδική αντίσταση μένει 49·10⁻⁸ Ω·m, γιατί το υλικό είναι το ίδιο. Η αντίσταση κάθε κομματιού γίνεται η μισή, γιατί το μήκος έγινε το μισό. Το ρ λέει από τι υλικό είναι το σύρμα, το R πόσο δυσκολεύει το ρεύμα ολόκληρο το συγκεκριμένο σύρμα.

Αντίσταση και θερμοκρασία

Στις παλιές λάμπες πυρακτώσεως το νήμα έχει πολύ μεγαλύτερη αντίσταση όταν λάμπει από ό,τι όταν είναι κρύο (§2.3). Συμβαίνει το ίδιο σε όλα τα μέταλλα, και στον ίδιο βαθμό;

Διάλεξε χαλκό, κράτα το σύρμα για σύγκριση και ανέβασε τη θερμοκρασία από 20 °C σε 300 °C. Η αντίσταση γίνεται ×2,09, από 0,017 Ω σε 0,0356 Ω.

Κάνε το ίδιο με νικελίνη: ×1,06. Με κονσταντάνη ο λόγος μένει ×1.

Στην εικόνα του σωλήνα, η ζέστη είναι σαν τα εμπόδια μέσα στον σωλήνα να άρχιζαν να κουνιούνται όλο και πιο έντονα, ώστε το νερό να πέφτει πάνω τους πιο συχνά.

Πού σταματά η αναλογία. Στο πραγματικό νερό η ζέστη κάνει τη ροή πιο εύκολη, γιατί το ζεστό νερό κυλά πιο ελεύθερα από το κρύο. Στα μέταλλα συμβαίνει το αντίθετο.

Όταν ένα μέταλλο ζεσταίνεται, τα ιόντα του ταλαντώνονται πιο έντονα και τα ηλεκτρόνια συγκρούονται μαζί τους συχνότερα. Έτσι η αντίσταση των μετάλλων αυξάνεται με τη θερμοκρασία.

Το σύρμα χαλκού στους 300 °C έχει περίπου διπλάσια αντίσταση από ό,τι στους 20 °C. Αντίθετα, η αντίσταση της κονσταντάνης σχεδόν δεν αλλάζει. Γι’ αυτό είναι κατάλληλη για αντιστάτες που πρέπει να έχουν σταθερή τιμή.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: «Όταν ένα σύρμα ζεσταίνεται, όλα μέσα του κινούνται πιο γρήγορα, άρα περνά περισσότερο ρεύμα». Σωστό ή λάθος;

Απάντηση

Λάθος. Στη ζέστη τα ιόντα ταλαντώνονται πιο έντονα και τα ηλεκτρόνια πέφτουν πάνω τους συχνότερα. Η αντίσταση μεγαλώνει, οπότε με την ίδια τάση περνά λιγότερο ρεύμα.

Επιπλέον — για αργότερα

Σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες, ορισμένα υλικά (υπεραγωγοί) αποκτούν μηδενική αντίσταση: το ρεύμα περνά χωρίς καθόλου απώλειες. Το φαινόμενο αυτό το εξετάζεις σε επόμενες τάξεις.

Ο τύπος R = ρ · ℓ διά A προϋποθέτει ομοιόμορφη διατομή σε όλο το μήκος του σύρματος. Σύρματα με μεταβλητό πάχος χρειάζονται πιο σύνθετο υπολογισμό.

Δραστηριότητες

Πρόβλεψη: Τι θα γίνει η αντίσταση, αν διπλασιάσεις το μήκος του σύρματος; Απάντησε στην κάρτα «Πρόβλεψη», πάτησε «Κράτα για σύγκριση» και κάνε το μήκος 2 m.
Κράτα ένα σύρμα για σύγκριση και άλλαξε μόνο τη διατομή από 1 mm² σε 2 mm² και μετά σε 4 mm². Πόσο γίνεται ο λόγος R διά R_Β κάθε φορά;
Με ίδιο μήκος και ίδια διατομή, δοκίμασε όλα τα υλικά. Κατάταξέ τα από την πιο μικρή στην πιο μεγάλη αντίσταση.
Διάλεξε χαλκό, κράτα το σύρμα για σύγκριση και ανέβασε τη θερμοκρασία στους 300 °C. Κάνε το ίδιο με κονσταντάνη. Ποιο υλικό θα διάλεγες για έναν αντιστάτη με σταθερή τιμή;
Βρες δύο διαφορετικά σύρματα χαλκού (άλλο μήκος και άλλη διατομή) που έχουν την ίδια αντίσταση. Τι σχέση έχουν τα μήκη και οι διατομές τους;

Ασκήσεις

Λύσε κάθε άσκηση και, όπου γίνεται, έλεγξε την απάντηση στην προσομοίωση.

Επίπεδο 1 · Κατανοώ Το νήμα ενός λαμπτήρα είναι από βολφράμιο, ένα μέταλλο. Είναι η αντίστασή του ίδια όταν ο λαμπτήρας είναι σβηστός και όταν φωτοβολεί; Εξήγησε.

Λύση

Όχι. Όταν φωτοβολεί, το νήμα είναι πολύ ζεστό (πάνω από 2000 °C) και, όπως σε όλα τα μέταλλα, η αντίστασή του είναι πολύ μεγαλύτερη από ό,τι όταν είναι κρύο.
Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένα σύρμα έχει αντίσταση 3 Ω. Κόβουμε ένα κομμάτι του με το ένα τρίτο του μήκους. Πόση είναι η αντίσταση του κομματιού;

Λύση

Η αντίσταση είναι ανάλογη του μήκους: R = 3 διά 3 = 1 Ω.
Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Δύο σύρματα από το ίδιο υλικό έχουν ίδιο μήκος. Το πρώτο έχει διατομή 1 mm² και αντίσταση 4 Ω. Πόση αντίσταση έχει το δεύτερο, με διατομή 2 mm²;

Λύση

Διπλάσια διατομή → μισή αντίσταση: R = 4 διά 2 = 2 Ω.
Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Πόση είναι η αντίσταση ενός σύρματος χαλκού με μήκος 10 m και διατομή 1 mm² στους 20 °C (ρ = 1,7·10⁻⁸ Ω·m);

Λύση

A = 1 mm² = 10⁻⁶ m², άρα R = ρ·ℓ διά A = 1,7·10⁻⁸ · 10 διά 10⁻⁶ = 0,17 Ω.
Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Θέλουμε αντιστάτη 4,9 Ω από σύρμα κονσταντάνης (ρ = 49·10⁻⁸ Ω·m) με διατομή 0,5 mm². Πόσο μήκος σύρματος χρειαζόμαστε;

Λύση

A = 0,5·10⁻⁶ m². Από R = ρ·ℓ διά A: ℓ = R·A διά ρ = 4,9 · 0,5·10⁻⁶ διά 49·10⁻⁸ = 5 m. Έλεγξέ το στην προσομοίωση.

Τι πρέπει να θυμάσαι

Η αντίσταση ενός σύρματος είναι R = ρ · ℓ διά A: εξαρτάται από μήκος, διατομή, υλικό και θερμοκρασία.
Διπλάσιο μήκος → διπλάσια R· διπλάσια διατομή → μισή R.
Η ειδική αντίσταση ρ είναι ιδιότητα του υλικού, ανεξάρτητη από το σχήμα του συγκεκριμένου σύρματος.
Στα μέταλλα η R αυξάνεται με τη θερμοκρασία· η κονσταντάνη σχεδόν δεν αλλάζει, γι’ αυτό χρησιμοποιείται σε αντιστάτες.
Πριν αντικαταστήσεις στον τύπο, μετέτρεψε τη διατομή από mm² σε m² (επί 10⁻⁶).

Γρήγορος έλεγχος

Ποια μονάδα χρησιμοποιούμε για την ειδική αντίσταση ρ;
Απάντηση
Το Ω·m.
Διπλασιάζεις τη διατομή ενός σύρματος. Τι γίνεται η αντίστασή του;
Απάντηση
Γίνεται η μισή.
Ένα σύρμα χαλκού και ένα σύρμα κονσταντάνης, ίδιων διαστάσεων, ζεσταίνονται και τα δύο στους 300 °C. Ποιου αλλάζει περισσότερο η αντίσταση;
Απάντηση
Του χαλκού.

Ένα πρόβλημα για σένα

Ένα σύρμα αλουμινίου έχει μήκος 4 m και διατομή 0,5 mm². Πόση είναι η αντίστασή του στους 20 °C; (ρ_Al = 2,8·10⁻⁸ Ω·m)