Προσομοιώσεις · Β΄ Γυμνασίου · Μηχανική · Κεφ. 2 · §2.3

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση

Θεωρία

Ίσες μετατοπίσεις σε ίσους χρόνους

Ένα αμαξάκι κινείται σε ευθεία γραμμή. Μετράμε τη μετατόπισή του κάθε 1 s. Αν βρίσκουμε πάντα την ίδια τιμή, ας πούμε 3 m προς τα δεξιά, η κίνηση λέγεται ευθύγραμμη ομαλή.

Η ευθύγραμμη ομαλή κίνηση είναι κίνηση πάνω σε ευθεία γραμμή με σταθερή ταχύτητα υ. «Σταθερή» σημαίνει ότι δεν αλλάζει ούτε το μέγεθος ούτε η κατεύθυνση της ταχύτητας.

Στο αμαξάκι μας, σε 1 s η μετατόπιση είναι 3 m, σε 2 s είναι 6 m και σε 3 s είναι 9 m. Διπλάσιος χρόνος, διπλάσια μετατόπιση. Τριπλάσιος χρόνος, τριπλάσια μετατόπιση.

Σκέψου: Ένα αμαξάκι κάνει 4 m σε 1 s, με σταθερή ταχύτητα. Πόσα m κάνει σε 3 s; Πόσα σε μισό δευτερόλεπτο;

Συχνό λάθος: «Κάθε κίνηση σε ευθεία γραμμή είναι ομαλή.» Ένα αυτοκίνητο σε ευθύγραμμο δρόμο που κάνει 10 m στο πρώτο δευτερόλεπτο και 15 m στο επόμενο δεν έχει σταθερή ταχύτητα, άρα η κίνησή του δεν είναι ομαλή. Η λέξη «ομαλή» έχει να κάνει με την ταχύτητα, όχι με το σχήμα της διαδρομής.

Και το αντίστροφο: δεν αρκεί να είναι σταθερό το κοντέρ. Σκέψου ένα αυτοκίνητο που γυρίζει σε έναν κυκλικό κόμβο με σταθερά 20 km/h. Το κοντέρ δεν κουνιέται, αλλά το αυτοκίνητο στρίβει συνέχεια, άρα η κατεύθυνση της ταχύτητάς του αλλάζει κάθε στιγμή. Η ταχύτητα δεν είναι σταθερή, γιατί η κατεύθυνση είναι κομμάτι της. Γι' αυτό στο όνομα της κίνησης υπάρχουν δύο λέξεις: «ομαλή» για το μέγεθος και «ευθύγραμμη» για την κατεύθυνση. Χρειάζονται και οι δύο.

Η μετατόπιση: Δx = υ · Δt

Από την προηγούμενη ενότητα ξέρεις τον ορισμό της ταχύτητας:

υ = Δx διά Δt

Στην ομαλή κίνηση η υ είναι η ίδια σε κάθε στιγμή, οπότε ο τύπος ισχύει για οποιοδήποτε χρονικό διάστημα. Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με Δt, βρίσκουμε τη μετατόπιση:

Δx = υ · Δt

όπου Δx η μετατόπιση (σε m), υ η σταθερή ταχύτητα (σε m/s) και Δt το χρονικό διάστημα (σε s). Οι μονάδες βγαίνουν σωστές: m/s · s = m.

Το πρόσημο της υ δείχνει την κατεύθυνση. Αν υ είναι θετική, το σώμα πηγαίνει προς τα δεξιά (προς τη θετική κατεύθυνση) και το Δx βγαίνει θετικό. Αν είναι αρνητική, πηγαίνει προς τα αριστερά και το Δx βγαίνει αρνητικό. Το Δt είναι πάντα θετικό, γιατί ο χρόνος περνά μόνο προς τα εμπρός.

Σκέψου: Αν η ταχύτητα διπλασιαστεί και ο χρόνος μείνει ίδιος, τι γίνεται η μετατόπιση;

Συχνό λάθος: «Η υ = −2 m/s είναι μικρότερη από την υ = +1 m/s.» Το πρόσημο δείχνει κατεύθυνση, όχι μέγεθος. Το σώμα με −2 m/s κινείται πιο γρήγορα από το σώμα με +1 m/s, αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Η θέση: x = x₀ + υ · t

Το Δx λέει πόσο μετακινήθηκε το σώμα, όχι πού βρίσκεται. Για να βρούμε τη θέση χρειάζεται να ξέρουμε και από πού ξεκίνησε. Η θέση τη στιγμή t = 0 λέγεται αρχική θέση και γράφεται x₀.

Ξεκινάμε το ρολόι τη στιγμή 0. Τότε ο χρόνος που πέρασε μέχρι τη στιγμή t είναι Δt = t − 0 = t. Η μετατόπιση από την αρχή είναι Δx = x − x₀, όπου x η θέση τη στιγμή t. Βάζουμε αυτά στον τύπο Δx = υ · Δt:

x − x₀ = υ · t

Προσθέτουμε το x₀ και στα δύο μέλη και παίρνουμε την εξίσωση της κίνησης:

x = x₀ + υ · t

Με λόγια: θέση τώρα = θέση στην αρχή + μετατόπιση. Εδώ x είναι η θέση τη στιγμή t (σε m), x₀ η θέση στην αρχή (σε m), υ η ταχύτητα (σε m/s) και t ο χρόνος από την αρχή (σε s).

Στην προσομοίωση το αμαξάκι ξεκινά από x₀ = +2 m με υ = +3 m/s. Κάθε δευτερόλεπτο προσθέτει 3 m στη θέση του:

Πρόβλεψε: Με αυτά τα δεδομένα, πού βρίσκεται το αμαξάκι τη στιγμή t = 4 s; Δοκίμασε πρώτα με το μυαλό σου.

Συχνό λάθος: λες ότι η θέση στα 4 s είναι +12 m. Το +12 m είναι η μετατόπιση Δx, όχι η θέση. Γίνεται όταν ξεχνάς το x₀. Ρώτα πάντα: από πού ξεκίνησε το σώμα;

Ακινησία

Όταν ένα σώμα μένει ακίνητο ως προς το σημείο αναφοράς, η θέση του δεν αλλάζει. Για κάθε χρονικό διάστημα το Δx είναι 0, οπότε υ = 0 διά Δt = 0.

Η ακινησία (ή ηρεμία) είναι λοιπόν ομαλή κίνηση με υ = 0. Ο τύπος x = x₀ + υ · t γίνεται x = x₀ + 0 · t = x₀: η θέση μένει πάντα η αρχική.

Σειρά σου: Ένα σώμα είναι ακίνητο στη θέση x = −3 m. Πόση είναι η θέση του μετά από 10 s;

Το γράφημα θέσης–χρόνου (x–t)

Στο γράφημα x–t ο οριζόντιος άξονας είναι ο χρόνος t και ο κατακόρυφος η θέση x. Κάθε στιγμή δίνει ένα σημείο. Στην ομαλή κίνηση όλα τα σημεία πέφτουν σε μία ευθεία γραμμή, γιατί σε κάθε δευτερόλεπτο η θέση αλλάζει κατά την ίδια ποσότητα υ.

Η ευθεία έχει δύο σημαντικά στοιχεία.

• Ξεκινά από το ύψος x₀ στον κατακόρυφο άξονα, τη στιγμή t = 0.
• Η κλίση της είναι η ταχύτητα υ. Για κάθε 1 s που πηγαίνεις προς τα δεξιά, η ευθεία ανεβαίνει κατά υ μέτρα (κατεβαίνει, αν η υ είναι αρνητική).

Η κλίση υπολογίζεται όπως η ταχύτητα, με το πηλίκο της μεταβολής της θέσης προς τη μεταβολή του χρόνου:

κλίση = Δx διά Δt = υ

Παράδειγμα: η ευθεία της προσομοίωσης πηγαίνει από το σημείο (0 s, +2 m) στο σημείο (4 s, +14 m). Η μεταβολή της θέσης είναι 14 − 2 = 12 m σε 4 s, άρα η κλίση είναι 12 m διά 4 s = +3 m/s. Πιο απότομη ευθεία σημαίνει μεγαλύτερο μέτρο ταχύτητας.

Σκέψου: Δύο ευθείες x–t ξεκινούν από το ίδιο σημείο και ανεβαίνουν. Η Α είναι πιο απότομη από τη Β. Ποιο σώμα κινείται πιο γρήγορα;

Συχνό λάθος: «Η ευθεία ανεβαίνει, άρα το σώμα ανεβαίνει σε λόφο.» Το γράφημα δεν είναι η φωτογραφία της διαδρομής. Το σώμα κινείται πάντα πάνω στην ευθεία του δρόμου του. Το ύψος στο γράφημα δείχνει τη θέση x, και η κλίση δείχνει την ταχύτητα. Μια ευθεία που είναι ψηλά στο γράφημα σημαίνει μεγάλη θέση, όχι μεγάλη ταχύτητα.

Το γράφημα ταχύτητας–χρόνου (υ–t) και το εμβαδόν

Στο γράφημα υ–t ο κατακόρυφος άξονας είναι η ταχύτητα. Επειδή η υ δεν αλλάζει, το γράφημα είναι μία οριζόντια ευθεία στο ύψος υ. Αν το σώμα είναι ακίνητο, η ευθεία είναι πάνω στον άξονα του χρόνου.

Κοίτα το ορθογώνιο ανάμεσα στην ευθεία και τον άξονα του χρόνου, από τη στιγμή 0 μέχρι τη στιγμή t. Το πλάτος του είναι Δt και το ύψος του είναι υ. Το εμβαδόν του είναι

εμβαδόν = υ · Δt = Δx

Άρα το εμβαδόν κάτω από τη γραμμή του γραφήματος υ–t είναι η μετατόπιση. Με τη υ = +3 m/s για 4 s, το ορθογώνιο έχει πλάτος 4 και ύψος 3, εμβαδόν 12, και πράγματι Δx = +12 m. Αυτό είναι το σκιασμένο ορθογώνιο στην προσομοίωση.

Αν η υ είναι αρνητική, το ορθογώνιο είναι κάτω από τον άξονα και το εμβαδόν μετρά αρνητικό: το Δx βγαίνει αρνητικό, όπως πρέπει.

Πρόβλεψε: Η υ είναι −2 m/s για 5 s. Πού είναι το ορθογώνιο και πόσο είναι το Δx;

Πότε συναντιούνται δύο σώματα

Δύο σώματα Α και Β κινούνται στην ίδια ευθεία. Συναντιούνται όταν έχουν την ίδια θέση την ίδια χρονική στιγμή. Στο γράφημα x–t αυτό είναι το σημείο όπου τέμνονται οι δύο ευθείες: ο χρόνος του σημείου είναι το πότε και το ύψος του είναι το πού.

Με τύπους: γράφουμε τη θέση κάθε σώματος και τις εξισώνουμε.

x_Α = x_0Α + υ_Α · t

x_Β = x_0Β + υ_Β · t

Λύνουμε την εξίσωση x_Α = x_Β ως προς t. Μετά βάζουμε τον χρόνο που βρήκαμε σε έναν από τους δύο τύπους και βρίσκουμε τη θέση.

Συχνό λάθος: «Οι ευθείες υ–t των δύο σωμάτων τέμνονται, άρα τα σώματα συναντιούνται.» Οι ευθείες υ–t τέμνονται όταν τα σώματα έχουν την ίδια ταχύτητα, όχι την ίδια θέση. Για συνάντηση κοιτάς το γράφημα x–t.

Αν τα δύο σώματα έχουν την ίδια ταχύτητα, οι δύο ευθείες x–t είναι παράλληλες και δεν τέμνονται ποτέ: η απόσταση ανάμεσα στα σώματα μένει σταθερή.

Επιπλέον — για αργότερα

Αν η ταχύτητα αλλάζει, η γραμμή στο γράφημα x–t δεν είναι πια ευθεία. Αυτό θα το μελετήσεις σε επόμενες τάξεις. Στην επόμενη ενότητα η ταχύτητα αλλάζει απότομα από κομμάτι σε κομμάτι, και κάθε κομμάτι του γραφήματος μένει ευθεία.

Δραστηριότητες

1. Πρόβλεψη: Απάντησε στην κάρτα «Πρόβλεψη». Μετά πάτησε Έναρξη με τις αρχικές τιμές (x₀ = +2 m, υ = +3 m/s). Κάθε δευτερόλεπτο μπαίνει μια τελεία στην ευθεία: πόσα m απέχουν δύο διαδοχικές τελείες; Διάβασε το x στα 4 s και στο τέλος της κίνησης (8 s). Βγαίνουν όπως στον τύπο x = x₀ + υ · t;
2. Βάλε x₀ = +6 m και υ = −3 m/s. Πριν πατήσεις Έναρξη, πρόβλεψε πού θα είναι το σώμα στα 4 s. Δες προς τα πού δείχνει το βέλος της ταχύτητας και πώς φαίνεται η ευθεία x–t. Μετά βάλε υ = 0 και ξαναδές τα δύο γραφήματα: πώς είναι η ευθεία x–t και πώς η υ–t;
3. Βάλε x₀ = 0 και υ = +2 m/s και άφησε την κίνηση να φτάσει στα 8 s. Το εμβαδόν του ορθογωνίου στο γράφημα υ–t (πλάτος επί ύψος) βγαίνει όσο η ένδειξη Δx_Α; Επανάλαβε με υ = −2 m/s. Πού πηγαίνει το ορθογώνιο και τι πρόσημο έχει το Δx;
4. Τσέκαρε το Δεύτερο σώμα Β (αρχικά x_0Β = +6 m, υ_Β = −2 m/s, και το Α με +2 m και +3 m/s). Πρώτα λύσε με τον τύπο πότε και πού θα συναντηθούν. Μετά πάτησε Έναρξη και σύγκρινε με τη γραμμή «Συνάντηση» και με τον κενό κύκλο στο γράφημα x–t. Τέλος βάλε υ_Β = +3 m/s, όση και του Α. Τι γράφει η γραμμή «Συνάντηση» και πώς είναι οι δύο ευθείες;
5. Στο σπίτι: Πάρε ένα αμαξάκι με μπαταρία που κινείται σε ίσιο, λείο δάπεδο. Με ένα ρολόι ή με ένα χρονόμετρο, βάζε ένα κομμάτι χαρτοταινία στη θέση του αμαξιού κάθε 1 s. Μέτρησε τις αποστάσεις ανάμεσα σε διαδοχικές ταινίες. Είναι ίσες; Αν ναι, η κίνηση είναι ομαλή. Δοκίμασε και ένα αμαξάκι που το σπρώχνεις με το χέρι και το αφήνεις να σταματήσει μόνο του. Οι αποστάσεις έχουν την ίδια ιδιότητα;

Ασκήσεις

Λύσε κάθε άσκηση πρώτα με το χέρι και μετά έλεγξε, όπου γίνεται, στην προσομοίωση.

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Ένα σώμα κινείται σε ευθεία με σταθερή ταχύτητα υ = −4 m/s. (α) Προς τα πού κινείται; (β) Πόση είναι η μετατόπισή του σε 3 s;

   Λύση

   (α) Η ταχύτητα είναι αρνητική, άρα το σώμα κινείται προς τα αριστερά. (β) Δx = υ · Δt = (−4 m/s) · 3 s = −12 m. Το σώμα μετατοπίζεται 12 m προς τα αριστερά.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Τρία σώματα έχουν γράφημα x–t ευθεία γραμμή. Η ευθεία του Α ανεβαίνει, του Β είναι οριζόντια και του Γ κατεβαίνει. Πες για το καθένα αν η υ του είναι θετική, αρνητική ή μηδέν και προς τα πού κινείται.

   Λύση

   Το Α: θετική υ, κινείται προς τα δεξιά. Το Β: υ = 0, είναι ακίνητο. Το Γ: αρνητική υ, κινείται προς τα αριστερά.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένα σώμα ξεκινά από x₀ = +8 m και κινείται με υ = −3 m/s. Βρες τη θέση του και τη μετατόπισή του τη στιγμή t = 5 s.

   Λύση

   Δx = υ · Δt = (−3) · 5 = −15 m. Η θέση: x = x₀ + υ · t = 8 + (−15) = −7 m. Έλεγχος: από το +8 μέχρι το −7 η μετατόπιση είναι −7 − 8 = −15 m. Το σώμα πέρασε από το σημείο αναφοράς και βρίσκεται αριστερά του.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Το γράφημα x–t ενός σώματος είναι ευθεία. Τη στιγμή t = 0 το σώμα είναι στη θέση +10 m και τη στιγμή t = 4 s στη θέση +2 m. Βρες την αρχική θέση x₀, την ταχύτητα υ και πες προς τα πού κινείται. Πότε περνά από το σημείο αναφοράς x = 0;

   Λύση

   Η αρχική θέση είναι x₀ = +10 m. Η μετατόπιση σε 4 s είναι Δx = 2 − 10 = −8 m, άρα υ = −8 m διά 4 s = −2 m/s. Είναι αρνητική, οπότε κινείται προς τα αριστερά. Στο x = 0: 10 − 2t = 0, άρα t = 5 s. Έλεγχος: σε 5 s η μετατόπιση είναι (−2) · 5 = −10 m και 10 − 10 = 0.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Το Α ξεκινά από x_0Α = +2 m με υ_Α = +1 m/s. Το Β ξεκινά πιο πίσω, από x_0Β = −6 m, με υ_Β = +3 m/s. Θα συναντηθούν; Πότε και πού; Και αν το Β είχε υ_Β = +1 m/s;

   Λύση

   Το Β είναι πιο γρήγορο και ξεκινά πίσω από το Α, άρα θα το φτάσει. Εξισώνουμε: 2 + t = −6 + 3t, άρα 8 = 2t και t = 4 s. Η θέση: x_Α = 2 + 1 · 4 = +6 m. Έλεγχος με το Β: −6 + 3 · 4 = +6 m. Συναντιούνται στα 4 s, στη θέση +6 m. Με υ_Β = +1 m/s οι ευθείες x–t είναι παράλληλες και η απόσταση μένει 8 m, οπότε δεν συναντιούνται ποτέ. Μπορείς να τα δοκιμάσεις και στην προσομοίωση.