Προσομοιώσεις · Β΄ Γυμνασίου · Μηχανική · Κεφ. 4 · §4.1
Πίεση
Με απλά λόγια
Γιατί ένα κοφτερό μαχαίρι κόβει πιο εύκολα από ένα στομωμένο; Οι περισσότεροι λένε «επειδή είναι πιο δυνατό». Αλλά το μαχαίρι δεν έχει δύναμη δική του. Η δύναμη έρχεται από το χέρι σου, και είναι η ίδια και στα δύο μαχαίρια.
Αυτό που αλλάζει είναι πού πέφτει η δύναμη. Στο στομωμένο μαχαίρι η κόψη είναι πλατιά και η δύναμη απλώνεται σε αρκετή επιφάνεια. Στο κοφτερό η κόψη είναι λεπτή σαν τρίχα, οπότε όλη η δύναμη συγκεντρώνεται σε μια πολύ μικρή επιφάνεια. Το ίδιο σπρώξιμο πιέζει εκεί πολύ πιο έντονα, και η ντομάτα υποχωρεί.
Αυτό το «πόσο έντονα πιέζει» έχει όνομα: το λέμε πίεση. Δεν είναι η δύναμη. Είναι η δύναμη μοιρασμένη πάνω στην επιφάνεια που την δέχεται. Ίδια δύναμη σε μικρή επιφάνεια δίνει μεγάλη πίεση· ίδια δύναμη σε μεγάλη επιφάνεια δίνει μικρή πίεση.
Γι’ αυτό περπατάς πάνω στο φρέσκο χιόνι με χιονοπέδιλα χωρίς να βουλιάξεις. Το βάρος σου δεν άλλαξε ούτε γραμμάριο. Απλώνεται όμως σε πολύ μεγαλύτερη επιφάνεια, οπότε το χιόνι δέχεται πολύ μικρότερη πίεση και αντέχει.
Κάτι που τώρα ξέρεις, ενώ οι περισσότεροι ενήλικες δεν το ξέρουν: όταν χτυπάς ένα καρφί, η δύναμη που περνά από το κεφάλι του καρφιού είναι ίδια με τη δύναμη που ασκεί η μύτη του στον τοίχο. Το καρφί δεν «πολλαπλασιάζει» τη δύναμη. Η μύτη όμως είναι εκατοντάδες φορές πιο μικρή από το κεφάλι, οπότε εκεί η πίεση είναι εκατοντάδες φορές μεγαλύτερη — αρκετή για να μπει στον τοίχο, ενώ το κεφάλι δεν θα έμπαινε ποτέ.
Θεωρία
Δύναμη και επιφάνεια: δύο διαφορετικά πράγματα
Όταν ένα σώμα ακουμπά πάνω σε μια επιφάνεια, την πιέζει με μια δύναμη. Το αποτέλεσμα όμως δεν εξαρτάται μόνο από το πόσο μεγάλη είναι αυτή η δύναμη. Εξαρτάται και από το πόσο μεγάλη είναι η επιφάνεια που τη δέχεται.
Στην προσομοίωση το κουτί έχει διαστάσεις 20 × 10 × 5 cm. Όποια πλευρά κι αν ακουμπήσεις στο χιόνι, το βάρος του παραμένει το ίδιο: το F δεν αλλάζει. Αυτό που αλλάζει είναι η επιφάνεια επαφής A, δηλαδή το εμβαδόν της πλευράς που ακουμπά.
Σκέψου: Γυρίζεις ένα τούβλο από την πλατιά στη στενή του πλευρά. Το βάρος του μεγαλώνει;
Απάντηση
Όχι. Το βάρος εξαρτάται από τη μάζα του τούβλου, και η μάζα δεν αλλάζει όταν το γυρίζεις. Αλλάζει μόνο η επιφάνεια με την οποία πατά.
Συχνό λάθος: «Στη στενή πλευρά το τούβλο πιέζει με μεγαλύτερη δύναμη.» Η δύναμη είναι η ίδια. Μεγαλύτερη γίνεται η πίεση, γιατί η ίδια δύναμη μοιράζεται σε λιγότερη επιφάνεια.
Ο ορισμός της πίεσης
Η πίεση είναι το πηλίκο της δύναμης που ασκείται κάθετα σε μια επιφάνεια προς το εμβαδόν της επιφάνειας:
p = F διά A
όπου p η πίεση, F η δύναμη κάθετα στην επιφάνεια (σε N) και A το εμβαδόν της επιφάνειας (σε m2).
Στην περίπτωση ενός σώματος που ηρεμεί πάνω σε οριζόντιο έδαφος, η δύναμη αυτή είναι το βάρος του: F = w = m · g, με g = 10 N/kg. Ένα κουτί 4 kg έχει βάρος 40 N.
Συχνό λάθος: βάζεις στον τύπο μια δύναμη που είναι πλάγια προς την επιφάνεια. Στον τύπο μπαίνει μόνο το κομμάτι της δύναμης που είναι κάθετο στην επιφάνεια. Στα προβλήματα της Β΄ Γυμνασίου η επιφάνεια είναι οριζόντια και η δύναμη είναι το βάρος, που είναι ήδη κατακόρυφο.
Η μονάδα: το πασκάλ
Από τον τύπο, η μονάδα της πίεσης είναι νιούτον ανά τετραγωνικό μέτρο. Αυτή η μονάδα έχει δικό της όνομα, το πασκάλ (Pa), προς τιμήν του Μπλεζ Πασκάλ:
1 Pa = 1 N ανά m2
Ένα πασκάλ είναι πολύ μικρή πίεση: είναι σαν να απλώνεις δύναμη 1 N — περίπου το βάρος ενός μικρού μήλου — πάνω σε ένα ολόκληρο τετραγωνικό μέτρο. Γι’ αυτό στις μετρήσεις συναντάς συχνά χιλιάδες πασκάλ. Το κουτί της προσομοίωσης στην πλατιά του πλευρά δίνει 2.000 Pa.
Θέλεις μια εικόνα για το ένα πασκάλ; Ένα χαρτονόμισμα ξαπλωμένο πάνω στο τραπέζι. Ζυγίζει περίπου ένα γραμμάριο, δηλαδή 0,01 N, και πιάνει περίπου 12 · 6,2 = 74 cm2, δηλαδή 0,0074 m2. Η πίεση που ασκεί στο τραπέζι είναι 0,01 : 0,0074 ≈ 1,3 Pa. Τόσο μικρό μέγεθος είναι το πασκάλ.
Σειρά σου: Δύο μαθητές γράφουν την πίεση ως «40 N/cm2» και ως «40 Pa». Λένε το ίδιο πράγμα;
Απάντηση
Όχι. Το πασκάλ είναι νιούτον ανά τετραγωνικό μέτρο, όχι ανά τετραγωνικό εκατοστό. Τα 40 N/cm2 είναι 400.000 Pa, δηλαδή δέκα χιλιάδες φορές μεγαλύτερη πίεση.
Η μετατροπή που κρύβει τα λάθη: cm2 σε m2
Τα εμβαδά στις ασκήσεις δίνονται συχνά σε τετραγωνικά εκατοστά, ενώ ο τύπος θέλει τετραγωνικά μέτρα. Η μετατροπή δεν είναι η ίδια με των μηκών, και εκεί γίνεται το πιο συχνό λάθος όλου του κεφαλαίου.
Ένα εκατοστό είναι το ένα εκατοστό του μέτρου: 1 cm = 0,01 m. Ένα τετραγωνικό εκατοστό όμως είναι ένα τετραγωνάκι με πλευρά 1 cm, άρα το εμβαδόν του είναι
1 cm2 = 0,01 · 0,01 = 0,0001 m2
- Από cm2 σε m2: διαιρείς με το 10.000. Π.χ. 200 cm2 = 0,02 m2.
- Από m2 σε cm2: πολλαπλασιάζεις επί 10.000. Π.χ. 0,5 m2 = 5.000 cm2.
Συχνό λάθος: διαιρείς με το 100 αντί για το 10.000, γιατί θυμάσαι ότι «1 m = 100 cm». Στα εμβαδά το 100 μπαίνει δύο φορές, μία για κάθε διάσταση. Αν το ξεχάσεις, η πίεση που βρίσκεις βγαίνει 100 φορές μικρότερη από την πραγματική.
Πρόβλεψε: Ένα τετράγωνο έχει πλευρά 1 m. Πόσα τετραγωνάκια πλευράς 1 cm χωράνε μέσα του;
Απάντηση
Σε κάθε πλευρά χωράνε 100, άρα συνολικά 100 · 100 = 10.000. Αυτό ακριβώς λέει η σχέση 1 m2 = 10.000 cm2.
Ο τύπος με τρεις τρόπους
Από τον τύπο p = F διά A βγαίνουν άλλοι δύο, ανάλογα με το τι ζητάει η άσκηση:
- Ζητάει την πίεση: p = F διά A
- Ζητάει τη δύναμη: F = p · A
- Ζητάει την επιφάνεια: A = F διά p
Λυμένο παράδειγμα 1
- Δεδομένα
- Το κουτί της προσομοίωσης, m = 4 kg, ακουμπά στη μεγάλη του πλευρά: 20 cm × 10 cm. Παίρνουμε g = 10 N/kg.
- Ζητούμενο
- η πίεση p που ασκεί στο έδαφος, σε Pa
- Τύπος
- F = m · g και p = F διά A. Το A πρέπει να μπει σε m2.
- Υπολογισμός
-
F = 4 · 10 = 40 N
A = 20 · 10 = 200 cm2 = 200 : 10.000 = 0,02 m2
p = 40 N διά 0,02 m2
p = 2.000 Pa
- Απάντηση
- p = 2.000 Pa. Έλεγχος στην προσομοίωση: με m = 4 kg και «Μεγάλη (20 × 10)» η ένδειξη p δείχνει ακριβώς 2.000 Pa.
Λυμένο παράδειγμα 2
- Δεδομένα
- Το ίδιο κουτί, m = 4 kg, γυρισμένο στη μικρή του πλευρά: 10 cm × 5 cm.
- Ζητούμενο
- η νέα πίεση p και πόσες φορές μεγαλύτερη είναι από το παράδειγμα 1
- Τύπος
- p = F διά A, με το ίδιο F όπως πριν: το γύρισμα δεν αλλάζει το βάρος.
- Υπολογισμός
-
F = 40 N (ίδιο με πριν)
A = 10 · 5 = 50 cm2 = 0,005 m2
Συμπλήρωσε: p = 40 N διά 0,005 m2 = ___ Pa
- Απάντηση
- Συμπλήρωσε το p παραπάνω και σύγκρινέ το με τα 2.000 Pa του παραδείγματος 1. Η επιφάνεια έγινε τέσσερις φορές μικρότερη, οπότε η πίεση πρέπει να βγει τέσσερις φορές μεγαλύτερη.
Απάντηση
p = 8.000 Pa, δηλαδή τετραπλάσια από τα 2.000 Pa. Το βάρος έμεινε 40 N και στις δύο περιπτώσεις· μόνο η επιφάνεια άλλαξε.
Όταν ζητείται η δύναμη ή η επιφάνεια
Λυμένο παράδειγμα 3
- Δεδομένα
- Μαθητής με μάζα m = 60 kg στέκεται στο χιόνι. Με τις μπότες του πατά με συνολική επιφάνεια A = 500 cm2, με τα χιονοπέδιλα με A = 4.000 cm2.
- Ζητούμενο
- η πίεση στο χιόνι και στις δύο περιπτώσεις
- Τύπος
- F = m · g και p = F διά A
- Υπολογισμός
-
F = 60 · 10 = 600 N
Μπότες: A = 500 cm2 = 0,05 m2, άρα p = 600 διά 0,05 = 12.000 Pa
Χιονοπέδιλα: A = 4.000 cm2 = 0,4 m2, άρα p = 600 διά 0,4 = 1.500 Pa
- Απάντηση
- 12.000 Pa με τις μπότες, 1.500 Pa με τα χιονοπέδιλα: οκτώ φορές μικρότερη πίεση. Το βάρος του μαθητή είναι και στις δύο περιπτώσεις 600 N.
Λυμένο παράδειγμα 4
- Δεδομένα
- Το έδαφος ενός χωραφιού αντέχει το πολύ p = 50.000 Pa χωρίς να βουλιάξει. Ένα μηχάνημα έχει βάρος F = 40.000 N.
- Ζητούμενο
- η μικρότερη συνολική επιφάνεια A των τροχών του, σε m2
- Τύπος
- A = F διά p
- Υπολογισμός
-
A = 40.000 N διά 50.000 Pa
Συμπλήρωσε: A = ___ m2
- Απάντηση
- Συμπλήρωσε το A παραπάνω. Σκέψου και τι σημαίνει το «το πολύ»: αν οι τροχοί έχουν μεγαλύτερη επιφάνεια, η πίεση βγαίνει μικρότερη και το έδαφος αντέχει ακόμη πιο άνετα.
Απάντηση
A = 0,8 m2, δηλαδή 8.000 cm2 συνολικά για όλους τους τροχούς μαζί. Γι’ αυτό τα τρακτέρ έχουν φαρδιές ρόδες: το βάρος τους δεν μειώνεται, η επιφάνεια όμως μεγαλώνει.
Πού τη συναντάς
Σε κάθε περίπτωση παρακάτω η δύναμη δεν είναι το ενδιαφέρον· το ενδιαφέρον είναι η επιφάνεια.
| Παράδειγμα | Επιφάνεια | Σκοπός |
|---|---|---|
| Μύτη καρφιού, βελόνα, κόψη μαχαιριού | πολύ μικρή | μεγάλη πίεση, για να μπει ή να κόψει |
| Πινέζα: πλατύ κεφάλι, λεπτή μύτη | μικρή από τη μία, μεγάλη από την άλλη | μεγάλη πίεση στον τοίχο, μικρή στο δάχτυλο |
| Χιονοπέδιλα, φαρδιές ρόδες τρακτέρ | μεγάλη | μικρή πίεση, για να μη βουλιάξει |
| Πέλματα καμήλας, ερπύστριες | μεγάλη | μικρή πίεση σε άμμο ή λάσπη |
| Λουρί σακιδίου: φαρδύ αντί για λεπτό | μεγάλη | μικρή πίεση στον ώμο, δεν πονά |
Το πιο ακραίο παράδειγμα της σειράς είναι το καρφοκρέβατο. Ένας άνθρωπος 60 κιλών έχει βάρος 600 N. Αν ξαπλώσει πάνω σε 600 καρφιά, το βάρος του μοιράζεται σε όλα, και σε κάθε καρφί αναλογεί 600 : 600 = 1 N — όσο το βάρος ενός μικρού μήλου. Ένα μόνο καρφί στην ίδια θέση θα έπαιρνε ολόκληρα τα 600 N, και η ιστορία θα τελείωνε αλλιώς. Δεν είναι κόλπο: είναι ο τύπος p = F : A με πολλές μύτες αντί για μία.
Σκέψου: Η πινέζα έχει πλατύ κεφάλι και λεπτή μύτη. Η δύναμη που περνά από το κεφάλι και η δύναμη που ασκεί η μύτη στον τοίχο είναι ίδιες. Τότε γιατί τρυπά τον τοίχο και όχι το δάχτυλό σου;
Απάντηση
Επειδή η πίεση είναι διαφορετική. Η ίδια δύναμη πάνω στο πλατύ κεφάλι δίνει μικρή πίεση στο δάχτυλο, ενώ πάνω στη λεπτή μύτη δίνει τεράστια πίεση στον τοίχο. Η πινέζα δεν μεγαλώνει τη δύναμη· μαζεύει την ίδια δύναμη σε πολύ μικρότερη επιφάνεια.
Επιπλέον — για αργότερα
Εδώ είδαμε την πίεση που ασκεί ένα στερεό σώμα στο έδαφος. Πίεση ασκούν όμως και τα υγρά και τα αέρια, με δικούς τους κανόνες: στα επόμενα μαθήματα του κεφαλαίου έρχονται η υδροστατική πίεση και η ατμοσφαιρική πίεση.
Δραστηριότητες
- Πρόβλεψη: Απάντησε πρώτα στην κάρτα «Πρόβλεψη» για το γύρισμα του κουτιού. Μετά άλλαξε την «Πλευρά στήριξης» και κοίτα ταυτόχρονα το F και το p. Ποιο από τα δύο άλλαξε;
- Βάλε m = 4 kg, «Μεγάλη (20 × 10)» και «Φρέσκο χιόνι». Σημείωσε F, A σε cm2 και σε m2, και p. Πάτησε Κράτα για σύγκριση. Τώρα γύρισε το κουτί στη «Μικρή (10 × 5)». Πόσο πιο βαθιά πάει η νέα στάθμη από τη διακεκομμένη γραμμή;
- Με την ίδια μάζα άλλαξε το «Πάνω σε» από «Φρέσκο χιόνι» σε «Άμμος» και μετά σε «Τσιμέντο». Άλλαξε η ένδειξη p; Και τι άλλαξε; Γράψε με μία πρόταση τι καθορίζει η πίεση και τι το έδαφος.
- Διάλεξε «Άμμος» και κράτα τη μάζα στα 4 kg. Δοκίμασε και τις τρεις πλευρές: σε ποια αρχίζει να βυθίζεται το κουτί; Μετά βάλε «Μεσαία (20 × 5)» και ανέβαζε τη μάζα μέχρι να φανεί κι εκεί βύθιση. Πόση πίεση δείχνει τότε η ένδειξη p, και πώς συγκρίνεται με την πίεση που είχες στη «Μικρή (10 × 5)» με τα 4 kg;
- Τσέκαρε το «Κρύψε την πίεση και υπολόγισέ την». Βάλε m = 7 kg και «Μεσαία (20 × 5)». Υπολόγισε μόνος σου την πίεση σε Pa, γράψ’ την στο πλαίσιο και πάτησε Έλεγχος. Δοκίμασε και δύο άλλους συνδυασμούς μάζας και πλευράς.
- Βρες τη μάζα για την οποία το κουτί στη «Μεγάλη (20 × 10)» δίνει την ίδια πίεση που δίνουν τα 4 kg στη «Μικρή (10 × 5)». Έλεγξε την απάντησή σου στην προσομοίωση.
Ασκήσεις
Λύσε κάθε άσκηση πρώτα με το χέρι και μετά έλεγξε, όπου γίνεται, στην προσομοίωση.
-
Επίπεδο 1 · Κατανοώ Ένα τούβλο ακουμπά στο τραπέζι. Το γυρίζεις και το ακουμπάς σε πλευρά με το μισό εμβαδόν. Τι γίνεται (α) το βάρος του, (β) η δύναμη που ασκεί στο τραπέζι, (γ) η πίεση που ασκεί στο τραπέζι;
Λύση
(α) Μένει ίδιο: η μάζα δεν άλλαξε. (β) Μένει ίδια, γιατί είναι το βάρος. (γ) Διπλασιάζεται: η ίδια δύναμη μοιράζεται στο μισό εμβαδόν, άρα το πηλίκο F/A διπλασιάζεται.
-
Επίπεδο 1 · Κατανοώ Μετάτρεψε: (α) 300 cm2 σε m2, (β) 0,25 m2 σε cm2, (γ) 2 cm2 σε m2.
Λύση
(α) 300 : 10.000 = 0,03 m2. (β) 0,25 · 10.000 = 2.500 cm2. (γ) 2 : 10.000 = 0,0002 m2.
-
Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένα κιβώτιο μάζας 15 kg ακουμπά σε οριζόντιο πάτωμα με επιφάνεια επαφής 0,3 m2. Βρες τη δύναμη που ασκεί στο πάτωμα και την πίεση. Πάρε g = 10 N/kg.
Λύση
F = 15 · 10 = 150 N. p = 150 διά 0,3 = 500 Pa.
-
Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένα κουτί βάρους 60 N ακουμπά με επιφάνεια 150 cm2. Βρες την πίεση σε Pa. Πρόσεξε τις μονάδες.
Λύση
A = 150 cm2 = 0,015 m2, άρα p = 60 διά 0,015 = 4.000 Pa. Αν κάποιος διαιρέσει με 150 θα βρει 0,4 και θα του φανεί λογικό — αλλά αυτή είναι η πίεση σε N/cm2, όχι σε Pa.
-
Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Το έδαφος μιας παραλίας αντέχει πίεση μέχρι 20.000 Pa. Ένα τραπεζάκι ζυγίζει 200 N και στηρίζεται σε τέσσερα πόδια. Πόσο εμβαδόν πρέπει να έχει το καθένα για να μη βουλιάξει;
Λύση
Συνολικά: A = 200 διά 20.000 = 0,01 m2. Αυτό μοιράζεται στα τέσσερα πόδια: 0,01 : 4 = 0,0025 m2 το καθένα, δηλαδή 25 cm2.
-
Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Δύο κουτιά ακουμπούν στο ίδιο χιόνι. Το Α έχει μάζα 8 kg και επιφάνεια επαφής 400 cm2. Το Β έχει μάζα 2 kg και επιφάνεια επαφής 50 cm2. Ποιο βυθίζεται περισσότερο; Ποιο είναι βαρύτερο;
Λύση
Α: F = 80 N, A = 0,04 m2, p = 2.000 Pa. Β: F = 20 N, A = 0,005 m2, p = 4.000 Pa. Βαρύτερο είναι το Α, αλλά βυθίζεται περισσότερο το Β, γιατί ασκεί διπλάσια πίεση. Το πιο βαρύ σώμα δεν βυθίζεται πάντα πιο πολύ.
-
Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ένας μαθητής λέει: «Αν πατήσω στο χιόνι με το ένα πόδι αντί για τα δύο, θα βουλιάξω πιο πολύ, άρα γίνομαι βαρύτερος.» Πού έχει δίκιο και πού κάνει λάθος; Αν το βάρος του είναι 500 N και κάθε πέλμα έχει 250 cm2, βρες την πίεση στις δύο περιπτώσεις.
Λύση
Έχει δίκιο ότι θα βουλιάξει πιο πολύ, κάνει λάθος στο «βαρύτερος»: το βάρος του μένει 500 N. Με δύο πέλματα A = 500 cm2 = 0,05 m2 και p = 10.000 Pa. Με ένα πέλμα A = 250 cm2 = 0,025 m2 και p = 20.000 Pa, δηλαδή διπλάσια πίεση με το ίδιο βάρος.
Τι πρέπει να θυμάσαι
- Πίεση είναι η δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας: p = F διά A, με τη δύναμη κάθετη στην επιφάνεια.
- Μονάδα είναι το πασκάλ: 1 Pa = 1 N/m2.
- Η δύναμη και η πίεση είναι διαφορετικά μεγέθη. Ίδια δύναμη σε μικρότερη επιφάνεια δίνει μεγαλύτερη πίεση.
- Για σώμα που ηρεμεί σε οριζόντιο έδαφος, η δύναμη είναι το βάρος: F = m · g, με g = 10 N/kg.
- 1 cm2 = 0,0001 m2 και 1 m2 = 10.000 cm2. Το εμβαδόν μπαίνει στον τύπο σε m2.
- Μικρή επιφάνεια όταν θέλεις να τρυπήσεις ή να κόψεις· μεγάλη όταν θέλεις να μη βουλιάξεις ή να μην πονέσεις.
Γρήγορος έλεγχος
- Πόσα m2 είναι τα 400 cm2;
Απάντηση
400 : 10.000 = 0,04 m2.
- Δύναμη 100 N ασκείται κάθετα σε επιφάνεια 0,5 m2. Πόση είναι η πίεση;
Απάντηση
100 : 0,5 = 200 Pa.
- Γυρίζεις ένα κουτί σε μεγαλύτερη πλευρά. Το βάρος του και η πίεση που ασκεί: τι κάνει το καθένα;
Απάντηση
Το βάρος μένει ίδιο, η πίεση μικραίνει.
- Γιατί το μαχαίρι ακονίζεται;
Απάντηση
Για να μικρύνει η επιφάνεια της κόψης, ώστε η ίδια δύναμη του χεριού να δίνει μεγαλύτερη πίεση.
Ένα πρόβλημα για σένα
Μια βαλίτσα με ρόδες έχει βάρος 300 N. Όταν στέκεται όρθια, πατά με δύο ρόδες συνολικής επιφάνειας 6 cm2. Όταν είναι ξαπλωμένη, ακουμπά με όλη της την πλευρά, 2.400 cm2. Βρες την πίεση στις δύο θέσεις. Σε ποια από τις δύο κινδυνεύει να χαλάσει το ξύλινο πάτωμα, και γιατί δεν φταίει το βάρος;