Προσομοιώσεις · Β΄ Γυμνασίου · Μηχανική · Κεφ. 3 · §3.6

Μάζα και βάρος

Θεωρία

Η μάζα: κάτι που ανήκει στο σώμα

Η μάζα m ενός σώματος δείχνει πόση ύλη έχει και πόσο δύσκολα αλλάζει η κίνησή του. Μετριέται σε χιλιόγραμμα (kg). Ένα μπουκάλι νερό του 1,5 L έχει μάζα περίπου 1,5 kg.

Η μάζα δεν αλλάζει όταν το σώμα αλλάζει τόπο. Ένας αστροναύτης με μάζα 80 kg έχει 80 kg στη Γη, 80 kg στη Σελήνη και 80 kg στον Δία.

Τη μάζα τη μετράμε με ζυγό (ζυγαριά με δύο δίσκους). Βάζουμε το σώμα στον έναν δίσκο και σταθμά, δηλαδή σώματα με γνωστή μάζα, στον άλλον, μέχρι να ισορροπήσει. Και οι δύο δίσκοι τραβιούνται από τον ίδιο πλανήτη, οπότε η έλξη επηρεάζει εξίσου και τους δύο. Γι’ αυτό ο ζυγός ισορροπεί με τα ίδια σταθμά σε κάθε πλανήτη.

Σκέψου: Στη Γη ένας ζυγός ισορροπεί με σταθμά 5 kg. Με ποια σταθμά θα ισορροπούσε στη Σελήνη;

Η ίδια δύναμη σε σώματα με διαφορετική μάζα

Στην προσομοίωση, στην επιλογή «Ίδια δύναμη, άλλη μάζα», δύο αμαξάκια ξεκινούν ακίνητα και σπρώχνονται από την ίδια δύναμη F. Κάθε κουτί πάνω στο αμαξάκι είναι 1 kg. Το βέλος της ταχύτητας υ και οι τελείες, που δείχνουν τη θέση κάθε 1 s, σου δείχνουν πώς κινείται το καθένα.

Μετά από 1 s το ελαφρύ αμαξάκι έχει μεγαλύτερη ταχύτητα από το βαρύ. Στο ελαφρύ οι τελείες απομακρύνονται γρήγορα η μία από την άλλη και το βέλος μεγαλώνει γρήγορα. Στο βαρύ οι τελείες ξεκινούν πολύ κοντά η μία στην άλλη και το βέλος μεγαλώνει αργά.

Το συμπέρασμα: με την ίδια δύναμη, όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα, τόσο πιο αργά αλλάζει η ταχύτητα. Το σώμα με τη μεγάλη μάζα έχει μεγαλύτερη αδράνεια: αντιστέκεται περισσότερο στην αλλαγή της κίνησής του. Γι’ αυτό σπρώχνεις εύκολα ένα άδειο καρότσι και δύσκολα ένα γεμάτο.

Πρόβλεψε: Στο βαρύ αμαξάκι βάζεις περισσότερα κουτιά, ενώ η δύναμη μένει ίδια. Η ταχύτητά του μετά από 1 s θα γίνει μεγαλύτερη ή μικρότερη;

Συχνό λάθος: «Το βαρύ αμαξάκι ζυγίζει περισσότερο, άρα κινείται πιο γρήγορα.» Γίνεται γιατί μπερδεύουμε το «βαρύ» με το «δυνατό». Και τα δύο αμαξάκια σπρώχνονται από την ίδια δύναμη, και το βαρύ είναι εκείνο που αντιστέκεται περισσότερο. Ρώτα πάντα: ποια δύναμη ασκείται, και πόση μάζα έχει το σώμα;

Το βάρος: η δύναμη του πλανήτη

Κάθε πλανήτης έλκει τα σώματα που βρίσκονται κοντά του. Η δύναμη αυτή λέγεται βάρος του σώματος και γράφεται w. Επειδή είναι δύναμη, μετριέται σε νιούτον (N) και έχει κατεύθυνση: κατακόρυφα προς τα κάτω, προς το κέντρο του πλανήτη. Την μετράμε με δυναμόμετρο: όσο μεγαλύτερο το βάρος, τόσο περισσότερο τεντώνεται το ελατήριο.

Το βάρος είναι ανάλογο της μάζας. Διπλάσια μάζα στον ίδιο πλανήτη σημαίνει διπλάσιο βάρος. Η σχέση τους είναι:

w = m · g

Εδώ w είναι το βάρος (σε N), m η μάζα (σε kg) και g ένας αριθμός που εξαρτάται από τον πλανήτη (σε N/kg). Το g λέει πόσα N είναι το βάρος κάθε 1 kg στον πλανήτη αυτό. Οι μονάδες βγαίνουν σωστές: kg · N/kg = N.

Στη Γη το g είναι στην πραγματικότητα περίπου 9,8 N/kg. Στις ασκήσεις μας χρησιμοποιούμε g = 10 N/kg, που βγάζει πιο απλούς αριθμούς. Η Σελήνη έλκει περίπου έξι φορές λιγότερο από τη Γη, ο Δίας περίπου δυόμισι φορές περισσότερο.

Σκέψου: Πόσο είναι το βάρος ενός σώματος με μάζα 1 kg στη Σελήνη; Και ενός σώματος με μάζα 10 kg;

Συχνό λάθος: «1 kg = 10 N.» Το kg είναι μονάδα μάζας και το N μονάδα δύναμης, και δεν είναι το ίδιο μέγεθος. Σωστό είναι: ένα σώμα με μάζα 1 kg έχει στη Γη βάρος 10 N. Στη Σελήνη το ίδιο σώμα θα είχε βάρος 1,6 N.

Βρίσκω τη μάζα από το βάρος

Αν ξέρεις το βάρος και το g, μπορείς να βρεις τη μάζα. Διαιρούμε και τα δύο μέλη του τύπου w = m · g με το g:

m = w διά g

Μάζα και βάρος: τι αλλάζει και τι όχι

Στην προσομοίωση, στην επιλογή «Μάζα και βάρος», βάζεις το ίδιο σώμα πρώτα στη Γη, μετά στη Σελήνη και στον Δία. Ο ζυγός γράφει πάντα την ίδια μάζα. Το δυναμόμετρο γράφει κάθε φορά άλλο βάρος, και το βέλος του βάρους μεγαλώνει ή μικραίνει. Το διακεκομμένο βέλος δείχνει το βάρος στη Γη, για να συγκρίνεις.

Συμπλήρωσε: Στη Σελήνη η μάζα του σώματος μένει ___ και το βάρος του γίνεται περίπου το ___ του βάρους του στη Γη.

Η μάζα δεν είναι μόνο ένας αριθμός στον ζυγό· είναι κάτι που το νιώθεις. Φαντάσου έναν αστροναύτη μακριά από κάθε πλανήτη, εκεί όπου το g είναι πρακτικά μηδέν. Κρατάει ένα βαρύ αμόνι και το αμόνι δεν ζυγίζει τίποτα: επιπλέει δίπλα του. Ας δοκιμάσει όμως να το κουνήσει πέρα δώθε. Θα του φανεί εξίσου δύσκολο όσο και στη Γη. Το βάρος χάθηκε, η μάζα όχι, και η μάζα είναι αυτή που αντιστέκεται στο κούνημα.

Το κάνεις κι εσύ χωρίς να το σκέφτεσαι. Όταν θέλεις να καταλάβεις ποιο από δύο μικρά αντικείμενα είναι «βαρύτερο», συχνά δεν τα σηκώνεις: τα κουνάς λίγο στο χέρι σου. Εκείνη τη στιγμή δεν συγκρίνεις βάρη. Συγκρίνεις πόσο δύσκολα αλλάζει η κίνηση του καθενός, δηλαδή τις μάζες τους.

Επιπλέον — για αργότερα: γιατί η ζυγαριά του μπάνιου γράφει «kg»;

Η ζυγαριά του μπάνιου έχει μέσα ένα ελατήριο, όπως το δυναμόμετρο. Στην πραγματικότητα μετρά δύναμη, το βάρος σου. Ο κατασκευαστής όμως έχει γράψει πάνω της αριθμούς σε kg, υπολογισμένους για τη Γη. Στη Σελήνη η ίδια ζυγαριά θα έδειχνε περίπου το 1/6 των kg σου, παρόλο που η μάζα σου δεν θα είχε αλλάξει.

Δραστηριότητες

1. Πρόβλεψη: Επίλεξε «Ίδια δύναμη, άλλη μάζα» και απάντησε στην κάρτα «Πρόβλεψη». Πάτησε Έναρξη με τις αρχικές τιμές (F = 8 N, m_Α = 2 kg, m_Β = 8 kg). Δες τις τελείες και τα βέλη της ταχύτητας: ποιο αμαξάκι προχωρά πιο γρήγορα; Διάβασε το υ_Α και το υ_Β μετά από 1 s.
2. Βάλε m_Β = 2 kg, όση και του Α. Πώς είναι τώρα οι τελείες και τα βέλη των δύο αμαξιών; Μετά μικρύνε τη δύναμη στα 4 N, με τις ίδιες μάζες. Η ταχύτητα μετά από 1 s μεγάλωσε ή μίκρυνε;
3. Επίλεξε «Μάζα και βάρος», με m = 80 kg. Πριν πατήσεις «Σελήνη», πρόβλεψε το βάρος εκεί με τον τύπο w = m · g. Έλεγξε το αποτέλεσμα με το δυναμόμετρο και με τον πίνακα της προσομοίωσης.
4. Βάλε m = 10 kg και γράψε το βάρος στη Γη, στη Σελήνη και στον Δία. Πόσες φορές μεγαλύτερο είναι το βάρος στον Δία από το βάρος στη Γη; Πού βλέπεις στην προσομοίωση ότι η μάζα δεν αλλάζει;
5. Στο σπίτι: Βρες πόσα kg γράφει μια συσκευασία ζάχαρης ή ρυζιού, ας πούμε 1 kg. Υπολόγισε το βάρος της στη Γη και στη Σελήνη. Κράτα τη συσκευασία στο χέρι: αυτό που νιώθεις είναι δύναμη περίπου 10 N. Ένα μήλο, με μάζα περίπου 100 g, έχει βάρος περίπου 1 N.

Ασκήσεις

Λύσε κάθε άσκηση πρώτα με το χέρι και μετά έλεγξε, όπου γίνεται, στην προσομοίωση. Χρησιμοποίησε g = 10 N/kg στη Γη, 1,6 N/kg στη Σελήνη και 25 N/kg στον Δία.

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Για καθεμία από τις προτάσεις πες αν δείχνει μάζα ή βάρος και ποια είναι η μονάδα της: (α) «ο σάκος έχει 12 kg», (β) «η Γη τραβάει τον σάκο με 120 N».

   Λύση

   (α) Μάζα, η μονάδα είναι το kg. (β) Βάρος, γιατί είναι δύναμη που ασκεί ο πλανήτης, και η μονάδα του είναι το N. Και οι δύο προτάσεις αφορούν τον ίδιο σάκο: w = 12 · 10 = 120 N.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Η ίδια δύναμη σπρώχνει από την ηρεμία δύο αμαξάκια, ένα με μάζα 3 kg και ένα με μάζα 6 kg. Ποιο θα έχει μεγαλύτερη ταχύτητα μετά από 2 s; Τι δείχνει αυτό για τη μάζα;

   Λύση

   Το αμαξάκι των 3 kg. Η δύναμη είναι ίδια, αλλά το αμαξάκι με τη μεγαλύτερη μάζα (6 kg) έχει μεγαλύτερη αδράνεια και η ταχύτητά του αυξάνεται πιο αργά. Η μάζα δείχνει πόσο δύσκολα αλλάζει η κίνηση του σώματος.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένα σώμα έχει μάζα m = 12 kg. Βρες το βάρος του στη Γη, στη Σελήνη και στον Δία.

   Λύση

   Γη: w = 12 · 10 = 120 N. Σελήνη: w = 12 · 1,6 = 19,2 N. Δίας: w = 12 · 25 = 300 N. Η μάζα είναι παντού 12 kg. Έλεγχος: ο Δίας έχει το μεγαλύτερο g και δίνει το μεγαλύτερο βάρος, η Σελήνη το μικρότερο.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένα δυναμόμετρο στη Γη δείχνει για ένα σώμα w = 250 N. Βρες τη μάζα του και το βάρος του στη Σελήνη.

   Λύση

   m = w διά g = 250 N διά 10 N/kg = 25 kg. Στη Σελήνη: w = 25 · 1,6 = 40 N. Έλεγχος: 40 N είναι περίπου το 1/6 του 250 N.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ένας αστροναύτης λέει: «Στη Σελήνη σηκώνω εύκολα ένα σώμα με μάζα έξι φορές μεγαλύτερη από όσο σηκώνω στη Γη». Έχει δίκιο; Τι θα συνέβαινε όμως αν προσπαθούσε να σπρώξει αυτό το σώμα οριζόντια, πάνω σε λείο δάπεδο;

   Λύση

   Για να σηκώσεις ένα σώμα, χρειάζεται δύναμη ίση με το βάρος του. Στη Σελήνη το g είναι περίπου έξι φορές μικρότερο, οπότε ένα σώμα με έξι φορές μεγαλύτερη μάζα έχει περίπου το ίδιο βάρος με το αρχικό σώμα στη Γη. Έχει δίκιο. Όταν όμως το σπρώχνει οριζόντια σε λείο δάπεδο, το βάρος δεν παίζει ρόλο και μετρά η μάζα. Το σώμα έχει μεγάλη μάζα, άρα μεγάλη αδράνεια, και η ταχύτητά του θα αλλάζει πολύ πιο αργά απ’ ό,τι στο σώμα με την αρχική μάζα.