Προσομοιώσεις · Β΄ Γυμνασίου · Μηχανική · Κεφ. 4 · §4.2

Υδροστατική πίεση

Θεωρία

Από πού έρχεται η πίεση ενός υγρού

Στο προηγούμενο μάθημα είδαμε ότι πίεση είναι η δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας: p = F διά A. Σε ένα υγρό, η δύναμη αυτή είναι το βάρος του υγρού που βρίσκεται από πάνω.

Πάρε ένα μικρό οριζόντιο κομματάκι επιφάνειας A σε βάθος h μέσα στο υγρό και σκέψου την κολόνα υγρού που στέκεται πάνω του:

• Όγκος της κολόνας: V = A · h
• Μάζα της: m = ρ · V = ρ · A · h
• Βάρος της: F = m · g = ρ · A · h · g

Διαιρώντας με το εμβαδόν, το A απλοποιείται και μένει:

p = ρ · g · h

Αυτή είναι η υδροστατική πίεση: η πίεση που ασκεί το ίδιο το υγρό σε βάθος h κάτω από την ελεύθερη επιφάνειά του.

Πρόσεξε τι έφυγε: το εμβαδόν A απλοποιήθηκε και εξαφανίστηκε. Γι’ αυτό το πλάτος και το σχήμα του δοχείου δεν παίζουν κανέναν ρόλο. Στον τύπο μένουν μόνο τρία πράγματα: ποιο υγρό είναι, πόσο βαθιά είσαι, και η βαρύτητα.

Σκέψου: Στον τύπο p = ρgh δεν υπάρχει ο όγκος του υγρού. Τι σημαίνει αυτό για δύο δοχεία με ίδιο βάθος αλλά πολύ διαφορετική ποσότητα νερού;

Συχνό λάθος: «Όσο περισσότερο νερό, τόσο μεγαλύτερη πίεση.» Περισσότερο νερό σε μεγαλύτερο πλάτος δεν αλλάζει τίποτα. Μόνο αν το νερό ανέβει πιο ψηλά — δηλαδή αν μεγαλώσει το βάθος κάτω από την επιφάνεια — μεγαλώνει η πίεση.

Οι μονάδες

Για να βγει η πίεση σε πασκάλ, κάθε μέγεθος μπαίνει στη δική του μονάδα S.I.:

• η πυκνότητα ρ σε kg/m³ (όχι σε g/cm³),
• το g σε N/kg — στα προβλήματά μας g = 10 N/kg,
• το βάθος h σε μέτρα.

Το βάθος το μετράμε συνήθως με χάρακα, σε εκατοστά, και εκεί γίνεται το λάθος: 1 cm = 0,01 m, άρα διαιρείς με το 100. Π.χ. 20 cm = 0,2 m και 150 cm = 1,5 m.

Συχνό λάθος: βάζεις το βάθος σε εκατοστά. Το νερό στα 20 cm δίνει 1.000 · 10 · 0,2 = 2.000 Pa, όχι 200.000 Pa. Αν ο αριθμός σου βγει εκατό φορές μεγαλύτερος από το αναμενόμενο, ξέχασες τη μετατροπή.

Σειρά σου: Πόσα μέτρα είναι τα 35 cm; Και πόσα εκατοστά είναι τα 2,4 m;

Συγκοινωνούντα δοχεία

Αν ενώσεις δοχεία διαφορετικού σχήματος από κάτω και ρίξεις το ίδιο υγρό, αυτό θα σταθεί στο ίδιο ύψος σε όλα, όσο διαφορετικά κι αν είναι. Αυτά τα δοχεία λέγονται συγκοινωνούντα, και αυτό ακριβώς δείχνει η προσομοίωση με τις τρεις στήλες.

Ο λόγος είναι η υδροστατική πίεση. Στο σημείο όπου τα δοχεία ενώνονται, το υγρό σπρώχνεται από τη μία μεριά με ρgh₁ και από την άλλη με ρgh₂. Αν οι στάθμες ήταν διαφορετικές, οι δύο πιέσεις θα ήταν διαφορετικές και το υγρό θα κινούνταν προς τη μεριά της μικρότερης, ώσπου να ισορροπήσουν. Ισορροπία σημαίνει h₁ = h₂.

Το ίδιο φαινόμενο εξηγεί γιατί το νερό φτάνει στη βρύση του τρίτου ορόφου από μια δεξαμενή στην ταράτσα, και γιατί το αλφάδι με το νερό δείχνει το οριζόντιο.

Μια εικόνα για να το θυμάσαι: βάλε ένα χρυσόψαρο να κολυμπήσει δέκα εκατοστά κάτω από την επιφάνεια, μέσα σε ένα στενό βάζο, μέσα σε μια φαρδιά γυάλα και μέσα σε μια δεξαμενή — ακόμα και στη μέση μιας λίμνης. Το ψάρι δέχεται ακριβώς την ίδια πίεση και στις τέσσερις περιπτώσεις. Αν κατέβει πιο βαθιά, η πίεση μεγαλώνει, πάλι το ίδιο και στις τέσσερις. Το σχήμα του δοχείου δεν το ξέρει ούτε το νερό ούτε το ψάρι· το μόνο που μετράει είναι πόσο υγρό στέκεται από πάνω τους.

Προσοχή: αυτό ισχύει για το ίδιο υγρό. Αν βάλεις νερό από τη μία μεριά και λάδι από την άλλη, οι στάθμες δεν θα είναι ίδιες: θα ισορροπήσουν εκεί που γίνονται ίσα τα γινόμενα ρh, οπότε το ελαφρύτερο υγρό στέκεται ψηλότερα.

Προς ποια κατεύθυνση ασκείται

Η πίεση ενός υγρού δεν πιέζει μόνο προς τα κάτω. Σε κάθε σημείο ασκείται προς όλες τις κατευθύνσεις: στον πυθμένα, στα πλαϊνά τοιχώματα, και πάνω σε κάθε σώμα που βυθίζεται, από όποια πλευρά κι αν το αγγίζει.

Γι’ αυτό ένα φράγμα χτίζεται πιο χοντρό στη βάση του: εκεί το βάθος είναι μεγαλύτερο, άρα η πίεση στο τοίχωμα είναι μεγαλύτερη. Δεν έχει σημασία πόσο μεγάλη είναι η λίμνη πίσω του — σημασία έχει πόσο βαθιά είναι.

Βάλε δίπλα δίπλα δύο ακραίες περιπτώσεις. Μια τεράστια λίμνη με βάθος 3 m και μια μικρή αλλά βαθιά γούρνα με βάθος 6 m. Στον πυθμένα της λίμνης η πίεση του νερού είναι 1.000 · 10 · 3 = 30.000 Pa· στον πυθμένα της γούρνας 1.000 · 10 · 6 = 60.000 Pa, διπλάσια. Η λίμνη έχει εκατομμύρια φορές περισσότερο νερό και πιέζει τον πυθμένα της λιγότερο.

Όταν ζητείται το βάθος ή η πυκνότητα

Από τον ίδιο τύπο βγαίνουν άλλοι δύο:

• Ζητάει το βάθος: h = p διά ρ · g
• Ζητάει την πυκνότητα: ρ = p διά g · h

Πυκνότητες υγρών

Οι τιμές του βιβλίου, αυτές που χρησιμοποιεί και η προσομοίωση.

Επιπλέον — για αργότερα

Ο αριθμός που δείχνει η προσομοίωση είναι η πίεση μόνο του υγρού. Στην πραγματικότητα πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια πιέζει και ο αέρας της ατμόσφαιρας, και η ολική πίεση είναι το άθροισμα των δύο. Την ατμοσφαιρική πίεση τη συναντάμε στο επόμενο μάθημα, §4.3.

Δραστηριότητες

1. Πρόβλεψη: Απάντησε πρώτα στην κάρτα «Πρόβλεψη» για τη στενή στήλη. Μετά κατέβασε το «h» και σύγκρινε τους τρεις αριθμούς που εμφανίζονται πάνω στη διακεκομμένη γραμμή.
2. Με «Νερό» βάλε το «h» στα 10, 20, 30 και 40 cm με τη σειρά. Γράψε κάθε φορά το p. Όταν διπλασιάζεις το βάθος, τι κάνει η πίεση;
3. Κράτα το h στα 20 cm και άλλαξε υγρό: «Νερό», «Οινόπνευμα», «Υδράργυρος». Διαίρεσε κάθε φορά την πίεση με την πυκνότητα. Τι παρατηρείς στα τρία πηλίκα και γιατί;
4. Βάλε «h» = 0. Τι δείχνει η πίεση και γιατί; Τώρα κοίτα τη γραμμή «Στον πυθμένα»: αυτή άλλαξε;
5. Βρες με το «h» το βάθος στο οποίο το «Οινόπνευμα» δίνει περίπου την ίδια πίεση που δίνει το «Νερό» στα 20 cm. Μετά έλεγξε τον αριθμό σου με τον τύπο.
6. Τσέκαρε το «Κρύψε την πίεση και υπολόγισέ την». Διάλεξε «Γλυκερίνη» και h = 30 cm, υπολόγισε μόνος σου την πίεση και πάτησε Έλεγχος. Δοκίμασε άλλα δύο υγρά.

Ασκήσεις

Λύσε κάθε άσκηση πρώτα με το χέρι και μετά έλεγξε, όπου γίνεται, στην προσομοίωση. Παντού g = 10 N/kg.

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Δύο δοχεία με νερό έχουν το ίδιο βάθος, αλλά το ένα είναι τριπλάσιο σε πλάτος. Πού είναι μεγαλύτερη η πίεση στον πυθμένα;

   Λύση

   Πουθενά — είναι ίδια. Στον τύπο p = ρgh δεν υπάρχει το πλάτος ούτε ο όγκος. Το φαρδύ δοχείο έχει περισσότερο νερό, αλλά και περισσότερη επιφάνεια πυθμένα για να το μοιραστεί.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Μετάτρεψε σε μέτρα: (α) 25 cm, (β) 8 cm, (γ) 180 cm. Γιατί πρέπει να μπουν σε μέτρα στον τύπο;

   Λύση

   (α) 0,25 m, (β) 0,08 m, (γ) 1,8 m. Πρέπει να μπουν σε μέτρα γιατί η πυκνότητα είναι σε kg/m³ και το αποτέλεσμα θέλουμε σε πασκάλ, δηλαδή N/m²: όλες οι μονάδες πρέπει να είναι του S.I.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Πόση είναι η υδροστατική πίεση του νερού σε βάθος 0,8 m;

   Λύση

   p = 1.000 · 10 · 0,8 = 8.000 Pa.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Δοχείο με γλυκερίνη (1.260 kg/m³) έχει βάθος 50 cm. Πόση πίεση ασκεί η γλυκερίνη στον πυθμένα;

   Λύση

   50 cm = 0,5 m, άρα p = 1.260 · 10 · 0,5 = 6.300 Pa.

5. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Σε ποιο βάθος μέσα στο νερό η υδροστατική πίεση είναι 4.500 Pa; Δώσε την απάντηση σε m και σε cm.

   Λύση

   h = 4.500 διά 1.000 · 10 = 0,45 m = 45 cm.

6. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Το νερό στα 20 cm δίνει 2.000 Pa. Σε ποιο βάθος δίνει την ίδια πίεση το οινόπνευμα (800 kg/m³); Εξήγησε με μία πρόταση γιατί το βάθος βγαίνει μεγαλύτερο.

   Λύση

   h = 2.000 διά 800 · 10 = 0,25 m = 25 cm. Το οινόπνευμα είναι ελαφρύτερο, οπότε χρειάζεται ψηλότερη κολόνα για να έχει το ίδιο βάρος πάνω στην ίδια επιφάνεια.

7. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Μια πισίνα έχει βάθος 2 m και μια λίμνη έχει επίσης βάθος 2 m, αλλά είναι χιλιάδες φορές μεγαλύτερη. Δύτης κατεβαίνει στον πυθμένα και στις δύο. (α) Πού νιώθει μεγαλύτερη πίεση από το νερό; (β) Πόση είναι; (γ) Γιατί τότε τα φράγματα χτίζονται πιο χοντρά στη βάση τους;

   Λύση

   (α) Πουθενά, είναι η ίδια: μετράει μόνο το βάθος. (β) p = 1.000 · 10 · 2 = 20.000 Pa. (γ) Όχι επειδή η λίμνη είναι μεγάλη, αλλά επειδή στη βάση του φράγματος το βάθος είναι μεγαλύτερο, άρα εκεί η πίεση στο τοίχωμα είναι μεγαλύτερη από ό,τι ψηλά.