Προσομοιώσεις · Β΄ Γυμνασίου · Μηχανική · Κεφ. 3 · §3.3

Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

Θεωρία

Η δύναμη είναι βέλος

Μια δύναμη έχει μέτρο (πόσο δυνατά τραβά ή σπρώχνει, σε N) και κατεύθυνση (προς τα πού). Τη σχεδιάζουμε σαν βέλος που ξεκινά από το σημείο όπου ασκείται. Το βέλος δείχνει την κατεύθυνση της δύναμης και το μήκος του είναι ανάλογο με το μέτρο της.

Για να διαβάσεις το μέτρο από το μήκος, χρειάζεται κλίμακα. Η κλίμακα 1 cm ↔ 1 N σημαίνει ότι ένα βέλος 3 cm δείχνει δύναμη 3 N. Στην προσομοίωση η κλίμακα φαίνεται στην πάνω ή στην κάτω γωνία: ένα μικρό ευθύγραμμο τμήμα με το μέτρο που αντιστοιχεί στο μήκος του.

Σκέψου: Με κλίμακα 1 cm ↔ 2 N, πόσο μακρύ είναι το βέλος μιας δύναμης 6 N;

Η συνισταμένη

Έστω ότι σε ένα σώμα ασκούνται δύο δυνάμεις F₁ και F₂. Η συνισταμένη F_ολ είναι η μία δύναμη που, αν ασκούνταν μόνη της, θα είχε το ίδιο αποτέλεσμα με τις δύο μαζί.

Προσοχή: η συνισταμένη αντικαθιστά τις δυνάμεις. Δεν είναι μια τρίτη δύναμη που ασκείται επιπλέον. Όταν τη σχεδιάζεις, μην την προσθέτεις ξανά στις άλλες.

Ίδια κατεύθυνση: προσθέτουμε

Δύο ελαστικά τραβούν το αμαξάκι προς τα δεξιά, το ένα με 3 N και το άλλο με 4 N. Αν βάλεις τα βέλη το ένα μετά το άλλο, το μήκος τους προστίθεται. Στην προσομοίωση, στη λειτουργία «Δύο δυνάμεις», πάτησε «0° · ίδια κατεύθυνση». Οι δυνάμεις έχουν γωνία 0° ανάμεσά τους και το βέλος της συνισταμένης είναι όσο τα δύο μαζί.

F_ολ = F₁ + F₂

Η συνισταμένη έχει την ίδια κατεύθυνση με τις δύο δυνάμεις. Αυτή είναι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η συνισταμένη δύο δυνάμεων με τα ίδια μέτρα.

Αντίθετες κατευθύνσεις: αφαιρούμε

Τώρα το ένα ελαστικό τραβά το αμαξάκι προς τα δεξιά και το άλλο προς τα αριστερά. Η μία δύναμη «ακυρώνει» ένα μέρος της άλλης. Τα μέτρα αφαιρούνται: από τη μεγαλύτερη δύναμη βγάζεις τη μικρότερη. Στην προσομοίωση πάτησε «180° · αντίθετες».

F_ολ = F₂ − F₁   (όταν F₂ > F₁)

Η συνισταμένη έχει την κατεύθυνση της μεγαλύτερης δύναμης.

Πρόβλεψε: Τι γίνεται αν οι δύο δυνάμεις έχουν το ίδιο μέτρο και αντίθετες κατευθύνσεις; Δοκίμασε στην προσομοίωση F₁ = F₂ = 3 N με 180°.

Διελκυστίνδα: πολλές δυνάμεις στην ίδια ευθεία

Στη διελκυστίνδα τραβούν πολλοί, από τις δύο πλευρές του σχοινιού. Όλες οι δυνάμεις είναι στην ίδια ευθεία, οπότε χρησιμοποιείς τους δύο κανόνες που ήδη ξέρεις, με τη σειρά:

1. Πρόσθεσε τις δυνάμεις κάθε ομάδας (ίδια κατεύθυνση).
2. Αφαίρεσε το μικρότερο άθροισμα από το μεγαλύτερο (αντίθετες κατευθύνσεις).
3. Η συνισταμένη δείχνει προς την ομάδα με το μεγαλύτερο άθροισμα.

Στην προσομοίωση, στη λειτουργία «Διελκυστίνδα», κάθε ομάδα έχει τρία τραβήγματα. Το βέλος με διακεκομμένη γραμμή κάτω από το σχοινί είναι το άθροισμα κάθε ομάδας, και το παχύ βέλος πάνω στο σχοινί είναι η συνισταμένη.

Κάθετες δυνάμεις: η διαγώνιος του ορθογωνίου

Αν οι δύο δυνάμεις έχουν γωνία 90° ανάμεσά τους, τις σχεδιάζεις από το ίδιο σημείο και συμπληρώνεις ένα ορθογώνιο με πλευρές τις δύο δυνάμεις. Η συνισταμένη είναι η διαγώνιος του ορθογωνίου, από το σημείο όπου ξεκινούν οι δυνάμεις ως την απέναντι κορυφή. Στην προσομοίωση τα διακεκομμένα τμήματα είναι οι δύο άλλες πλευρές.

Η διαγώνιος και οι δύο πλευρές σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο, οπότε ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα από τα Μαθηματικά:

F_ολ = √F₁² + F₂²

Σειρά σου: Δύο κάθετες δυνάμεις είναι 6 N και 8 N. Πόση είναι η συνισταμένη;

Συχνό λάθος: «Οι δυνάμεις 3 N και 4 N κάνουν πάντα 7 N.» Έτσι βγαίνει μόνο όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση. Το λάθος γίνεται γιατί προσθέτουμε τους αριθμούς και ξεχνάμε ότι οι δυνάμεις έχουν κατεύθυνση. Πριν προσθέσεις, ρώτα: ποια γωνία έχουν;

Άλλες γωνίες: το παραλληλόγραμμο

Για οποιαδήποτε άλλη γωνία δεν χρειάζεσαι τύπο: χρησιμοποιείς την γραφική μέθοδο, δηλαδή σχέδιο με χάρακα και κλίμακα.

1. Σχεδίασε τις δύο δυνάμεις από το ίδιο σημείο, ως βέλη με μήκος σύμφωνα με την κλίμακα και με τη γωνία που έχουν ανάμεσά τους.
2. Από την άκρη κάθε βέλους φέρε παράλληλη προς το άλλο βέλος. Έτσι συμπληρώνεται ένα παραλληλόγραμμο.
3. Η συνισταμένη είναι η διαγώνιος που ξεκινά από το αρχικό σημείο.
4. Μέτρησε το μήκος της διαγωνίου και μετάτρεψέ το σε N με την κλίμακα.

Στην προσομοίωση κάνει το ίδιο το πρόγραμμα. Μπορείς να βάλεις και τα 0° και τα 180°: το παραλληλόγραμμο τότε γίνεται ευθεία και η διαγώνιος βγαίνει άθροισμα ή διαφορά. Για δύο δυνάμεις 3 N και 4 N οι μετρήσεις είναι αυτές:

Σκέψου: Τι κάνει η συνισταμένη όταν η γωνία ανάμεσα στις δύο δυνάμεις μεγαλώνει από 0° ως 180°;

Ανάλυση: μία δύναμη, δύο κάθετες δυνάμεις

Ένα παιδί τραβά ένα αμαξάκι με σχοινί που σχηματίζει γωνία 30° με το έδαφος. Το σχοινί τραβά και προς τα εμπρός και λίγο προς τα πάνω. Για να δούμε πόσο προς κάθε μέρος, αναλύουμε τη δύναμη F του σχοινιού σε δύο κάθετες δυνάμεις, που μαζί κάνουν το ίδιο αποτέλεσμα με την F. Λέγονται συνιστώσες.

1. Διάλεξε δύο κάθετους άξονες από το σημείο εφαρμογής: ο x κατά μήκος της επιφάνειας (έδαφος ή πλάγιο επίπεδο) και ο y κάθετα σε αυτήν.
2. Σχεδίασε τη δύναμη F με την κλίμακα και τη γωνία της.
3. Από την άκρη της F φέρε κάθετες προς τους δύο άξονες. Έτσι σχηματίζεται ορθογώνιο.
4. Οι πλευρές του ορθογωνίου πάνω στους άξονες είναι οι συνιστώσες F_x και F_y. Μέτρησέ τες με την κλίμακα.

Η ανάλυση είναι η σύνθεση με την ανάποδη σειρά: η F είναι η διαγώνιος του ορθογωνίου και οι συνιστώσες οι πλευρές του. Άρα, όπως στις κάθετες δυνάμεις, ισχύει:

F = √F_x² + F_y²

Η F_x είναι αυτή που σπρώχνει το αμαξάκι προς τα εμπρός. Η F_y δεν το προχωρά: το ανασηκώνει ελαφρά από την επιφάνεια. Στην προσομοίωση, στη λειτουργία «Ανάλυση δύναμης», άλλαξε τη γωνία με το πλάγιο και δες ποια συνιστώσα μεγαλώνει και ποια μικραίνει.

Πρόβλεψε: Αν η γωνία ανάμεσα στη δύναμη και την επιφάνεια γίνει σχεδόν 0°, ποια συνιστώσα θα γίνει σχεδόν μηδέν;

Στο πλάγιο επίπεδο οι δύο άξονες γέρνουν μαζί με το πλάγιο: ο x δείχνει κατά μήκος του και ο y κάθετα σε αυτό. Αν κρατήσεις τη γωνία ανάμεσα στη δύναμη και τον άξονα x ίδια, οι F_x και F_y δεν αλλάζουν όσο γέρνει το πλάγιο. Αλλάζει μόνο η θέση του σχεδίου.

Συχνό λάθος: «Οι συνιστώσες και η δύναμη ασκούνται όλες μαζί, άρα το σώμα δέχεται F + F_x + F_y.» Οι συνιστώσες αντικαθιστούν την F, δεν προστίθενται σε αυτήν. Είτε μετράς την F είτε τις δύο συνιστώσες, όχι και τα δύο.

Επιπλέον — για αργότερα

Για οποιαδήποτε γωνία υπάρχει τύπος που δίνει τη συνισταμένη και τις συνιστώσες χωρίς σχέδιο. Θα τον μάθεις στα Μαθηματικά, όταν γνωρίσεις το ημίτονο και το συνημίτονο. Μέχρι τότε αρκεί το σχέδιο με χάρακα και κλίμακα, και οι τύποι για 0°, 90° και 180°.

Δραστηριότητες

1. Πρόβλεψη: Απάντησε στην κάρτα «Πρόβλεψη» για τα 3 N και 4 N σε ορθή γωνία. Μετά βάλε F₁ = 3 N, F₂ = 4 N και πάτησε «90° · κάθετες». Μέτρησε το μήκος του βέλους F_ολ με την κλίμακα. Βρήκες αυτό που περίμενες;
2. Σάρωσε τις γωνίες. (α) Κράτα F₁ = 3 N και F₂ = 4 N και γύρισε τον ρυθμιστή της γωνίας από 0° ως 180°. Γράψε σε πίνακα την F_ολ για 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150° και 180°. Ποια γωνία δίνει τη μεγαλύτερη και ποια τη μικρότερη συνισταμένη; (β) Βάλε F₁ = F₂ = 4 N. Για ποια γωνία η συνισταμένη βγαίνει 0; Για ποια βγαίνει ίση με 4 N; Πρόσεξε τι σχήμα έχει τότε το παραλληλόγραμμο.
3. Διελκυστίνδα. Διάλεξε «Διελκυστίνδα». (α) Βάλε αριστερά τρία τραβήγματα των 50 N και δεξιά ένα των 200 N. Ποια ομάδα νικά, παρότι έχει λιγότερα άτομα; (β) Άλλαξε τα τραβήγματα ώστε η συνισταμένη να γίνει 0 με διαφορετικά τραβήγματα σε κάθε ομάδα. (γ) Σύρε την άκρη ενός βέλους και δες πώς αλλάζει το άθροισμα της ομάδας.
4. Ανάλυση. Διάλεξε «Ανάλυση δύναμης», βάλε F = 10 N και γωνία 30°. Διάβασε τις F_x και F_y. Μετά βάλε 60° και ξαναδιάβασέ τες. Σε ποια γωνία είναι οι δύο συνιστώσες ίσες; Άλλαξε την κλίση του πλαγίου και πρόσεξε τι δεν αλλάζει.
5. Στο τετράδιο. Με κλίμακα 1 cm ↔ 1 N και χάρακα σχεδίασε δύο δυνάμεις 3 N και 4 N με γωνία 60° ανάμεσά τους. Συμπλήρωσε το παραλληλόγραμμο, μέτρησε τη διαγώνιο και σύγκρινέ τη με την τιμή του πίνακα (περίπου 6,1 N). Μετά σχεδίασε μια δύναμη 6 N που σχηματίζει 30° με μια οριζόντια γραμμή και βρες τις δύο συνιστώσες της. Έλεγξε: ισχύει ότι F = √F_x² + F_y² περίπου;

Ασκήσεις

Λύσε κάθε άσκηση πρώτα με το χέρι και μετά έλεγξε, όπου γίνεται, στην προσομοίωση.

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Δύο δυνάμεις 6 N και 2 N ασκούνται στο ίδιο σώμα. (α) Πόση είναι η συνισταμένη αν έχουν την ίδια κατεύθυνση; (β) Πόση είναι αν έχουν αντίθετες κατευθύνσεις, και προς τα πού δείχνει;

   Λύση

   (α) Προσθέτουμε: F_ολ = 6 + 2 = 8 N, με την ίδια κατεύθυνση. (β) Αφαιρούμε: F_ολ = 6 − 2 = 4 N, προς την κατεύθυνση της δύναμης των 6 N, που είναι η μεγαλύτερη.

2. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Σε μια διελκυστίνδα η αριστερή ομάδα τραβά με 200 N, 150 N και 100 N, και η δεξιά με 200 N και 150 N. Βρες τη συνισταμένη και πες ποια ομάδα νικά.

   Λύση

   Αριστερά: 200 + 150 + 100 = 450 N. Δεξιά: 200 + 150 = 350 N. Η συνισταμένη είναι F_ολ = 450 − 350 = 100 N, προς τα αριστερά, άρα νικά η αριστερή ομάδα. Έλεγχος: η συνισταμένη είναι μικρότερη από το μεγαλύτερο άθροισμα, όπως πρέπει.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Δύο κάθετες δυνάμεις, 6 N και 8 N, ασκούνται στο ίδιο σώμα. Πόση είναι η συνισταμένη; Είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από το 6 + 8;

   Λύση

   F_ολ = √6² + 8² = √36 + 64 = √100 = 10 N. Είναι μικρότερη από 6 + 8 = 14 N, γιατί οι δυνάμεις δεν έχουν την ίδια κατεύθυνση.

4. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Δύο δυνάμεις, 3 N και 4 N, ασκούνται στο ίδιο σώμα. (α) Για ποια γωνία ανάμεσά τους η συνισταμένη είναι 7 N; 5 N; 1 N; (β) Μπορεί η συνισταμένη να είναι 8 N; Μπορεί να είναι 0; Εξήγησε.

   Λύση

   (α) 7 N για 0°, 5 N για 90°, 1 N για 180°. (β) Όχι 8 N: το μέγιστο είναι 3 + 4 = 7 N, όταν έχουν την ίδια κατεύθυνση. Ούτε 0: για να αλληλοαναιρεθούν, οι δυνάμεις πρέπει να έχουν αντίθετες κατευθύνσεις και ίδιο μέτρο, και εδώ τα μέτρα διαφέρουν. Το ελάχιστο είναι 4 − 3 = 1 N.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Μια δύναμη F = 10 N αναλύεται σε δύο κάθετες συνιστώσες. Η F_x είναι 6 N. (α) Πόση είναι η F_y; (β) Η γωνία ανάμεσα στη δύναμη και τον άξονα x είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από 45°; Δικαιολόγησε χωρίς μέτρηση.

   Λύση

   (α) Η F είναι η διαγώνιος του ορθογωνίου, άρα F² = F_x² + F_y². Τότε F_y = √10² − 6² = √100 − 36 = √64 = 8 N. (β) Η F_y (8 N) είναι μεγαλύτερη από την F_x (6 N), δηλαδή η δύναμη «γέρνει» περισσότερο προς τον άξονα y. Άρα η γωνία με τον άξονα x είναι μεγαλύτερη από 45°. Στα 45° οι δύο συνιστώσες θα ήταν ίσες.