Προσομοιώσεις · Β΄ Γυμνασίου · Μηχανική · Κεφ. 3 · §3.5

Ισορροπία σώματος

Θεωρία

Τι σημαίνει ισορροπία

Όταν μας ενδιαφέρουν μόνο οι δυνάμεις που ασκούνται σε ένα σώμα, το παριστάνουμε με ένα σημείο, το υλικό σημείο. Ένα υλικό σημείο ισορροπεί όταν:

• είναι ακίνητο, ή
• κινείται με σταθερή ταχύτητα, δηλαδή ευθεία και με την ίδια ταχύτητα συνέχεια.

Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα λέει ότι τότε η συνισταμένη όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι μηδέν:

F_ολ = 0

Ισχύει και αντίστροφα. Αν η συνισταμένη είναι 0, το σώμα ή μένει ακίνητο ή συνεχίζει να κινείται ευθεία με την ίδια ταχύτητα. Δύναμη (που δεν ισοσκελίζεται) χρειάζεται μόνο όταν θέλουμε να αλλάξει η ταχύτητα.

Συχνό λάθος: «Αν ένα σώμα κινείται, κάτι το σπρώχνει προς τα εκεί που πηγαίνει, άρα η συνισταμένη δεν είναι 0.» Το πιστεύουμε επειδή στην καθημερινή ζωή τα σώματα σταματούν μόλις πάψουμε να τα σπρώχνουμε. Φταίει η τριβή, που είναι κι αυτή μια δύναμη. Ένα σώμα που κινείται με σταθερή ταχύτητα ισορροπεί: η ώθηση ισοσκελίζει την τριβή και η συνισταμένη είναι 0.

Σκέψου: Το ασανσέρ ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα. Η δύναμη που ασκεί το συρματόσχοινο προς τα πάνω είναι μεγαλύτερη, μικρότερη ή ίση με το βάρος του ασανσέρ;

Δύο δυνάμεις που ισορροπούν

Αν σε ένα σώμα ασκούνται μόνο δύο δυνάμεις και το σώμα ισορροπεί, οι δυνάμεις έχουν ίσο μέτρο και αντίθετη φορά. Έτσι το άθροισμά τους είναι 0.

Μια τσάντα βάρους 40 N κρέμεται από ένα δυναμόμετρο και δεν κινείται. Το ελατήριο του δυναμομέτρου τραβά την τσάντα προς τα πάνω με 40 N, και το βάρος την τραβά προς τα κάτω με 40 N.

Δύο δυνάμεις θα χρειαστούμε συχνά. Το βάρος w είναι η δύναμη της Γης, με φορά προς τα κάτω. Η κάθετη δύναμη F_N είναι η δύναμη που ασκεί μια επιφάνεια σε ό,τι ακουμπά πάνω της, κάθετα προς την επιφάνεια.

Οι δυνάμεις προς τα πάνω δεν είναι υποχρεωτικά μία. Φαντάσου ότι στέκεσαι με το ένα πόδι σε ένα σκαμνί και με το άλλο σε ένα δεύτερο. Αν το βάρος σου είναι 400 N και στέκεσαι ίσια, κάθε σκαμνί σε σηκώνει με 200 N, και 200 + 200 = 400 N. Γείρε τώρα προς το ένα. Εκείνο θα σε σηκώνει με περισσότερα, ας πούμε 250 N, και το άλλο με λιγότερα, 150 N. Το άθροισμα όμως μένει 250 + 150 = 400 N. Όσες κι αν είναι οι δυνάμεις προς τα πάνω και όπως κι αν μοιραστούν, όταν ισορροπείς πρέπει να αθροίζουν στο βάρος σου.

Ισορροπία σε δύο κατευθύνσεις

Στο δαχτυλίδι της προσομοίωσης τα σχοινιά τραβούν σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Τότε αναλύουμε κάθε δύναμη σε δύο κάθετες κατευθύνσεις: την οριζόντια, τον άξονα x, και την κατακόρυφη, τον άξονα y. Η συνισταμένη έχει κι αυτή δύο συνιστώσες, την F_ολ,x και την F_ολ,y.

Η ισορροπία ισχύει χωριστά για κάθε κατεύθυνση:

F_ολ,x = 0

F_ολ,y = 0

Για να βρεις την F_ολ,x, προσθέτεις τις οριζόντιες συνιστώσες όλων των δυνάμεων: το + σημαίνει προς τα δεξιά και το − προς τα αριστερά. Για την F_ολ,y προσθέτεις τις κατακόρυφες: το + σημαίνει προς τα πάνω και το − προς τα κάτω.

Δοκίμασέ το στο πρώτο μέρος της προσομοίωσης. Στην αρχή τα σχοινιά τραβούν με 5 N, 5 N και 3 N. Ο πίνακας δείχνει ότι F_ολ,x = +1,0 N και F_ολ,y = +1,7 N. Καμία από τις δύο δεν είναι 0, άρα το δαχτυλίδι δεν ισορροπεί: όταν το αφήνεις, κινείται προς τα πάνω δεξιά. Αν πατήσεις «Τρεις ίσες», και οι δύο συνιστώσες γίνονται 0 και το δαχτυλίδι μένει ακίνητο.

Σκέψου: Σε ένα δαχτυλίδι η συνισταμένη έχει F_ολ,x = 0, αλλά F_ολ,y = 2 N. Ισορροπεί;

Συχνό λάθος: «Οι δυνάμεις αριστερά και δεξιά είναι ίσες, άρα ισορροπεί.» Δεν αρκεί μία κατεύθυνση. Αν οι δυνάμεις πάνω και κάτω δεν ισοσκελίζονται, η συνισταμένη δεν είναι 0 και το σώμα δεν ισορροπεί. Έλεγξε πάντα και τους δύο άξονες.

Κουτί στο τραπέζι: η τριβή

Τώρα σπρώχνουμε οριζόντια ένα κουτί πάνω σε ένα τραπέζι. Ο πίνακας λέει ποιες δυνάμεις ασκούνται στο κουτί:

Η τριβή Τ είναι η δύναμη που ασκεί η επιφάνεια και αντιστέκεται στην κίνηση, ή στην προσπάθεια για κίνηση. Έχει πάντα φορά αντίθετη από αυτή που θα κινούνταν το κουτί.

Κάθετα, το βάρος και η κάθετη δύναμη ισοσκελίζονται. Για το κουτί που ηρεμεί ισχύουν και οι δύο συνθήκες ισορροπίας:

F_ολ,y = F_N − w = 0

F_ολ,x = F − Τ = 0

Η δεύτερη εξίσωση δίνει Τ = F. Όσο το κουτί μένει ακίνητο, η τριβή είναι ίση και αντίθετη με την ώθηση. Αν σπρώξεις με 5 N, η τριβή είναι 5 N. Αν σπρώξεις με 10 N, η τριβή γίνεται 10 N. Η τριβή προσαρμόζεται στο σπρώξιμο.

Έχει όμως ένα όριο. Η μέγιστη τριβή Τ_μέγ είναι η μεγαλύτερη τριβή που μπορεί να ασκήσει το τραπέζι πριν κινηθεί το κουτί. Είναι μεγαλύτερη όταν το κουτί είναι βαρύτερο και όταν η επιφάνεια είναι πιο τραχιά. Στην προσομοίωση βλέπεις τις τιμές Τ_μέγ και Τ_κιν κάτω από το σχήμα. Όταν η ώθηση ξεπεράσει τη μέγιστη τριβή, το κουτί ξεκινά.

Πρόβλεψε: Η μέγιστη τριβή ενός κουτιού είναι 20 N. Τι γίνεται όταν το σπρώχνεις με 20 N; Και τι όταν το σπρώχνεις με 21 N;

Συχνό λάθος: «Η τριβή του κουτιού είναι πάντα 20 N.» Αυτά τα 20 N είναι μόνο το όριο. Όσο το κουτί ηρεμεί, η τριβή είναι ίση με την ώθηση, δηλαδή μπορεί να είναι 3 N, 12 N ή 20 N.

Σταθερή ταχύτητα: ισορροπία που κινείται

Μόλις το κουτί κινηθεί, η τριβή αλλάζει τιμή: γίνεται η τριβή ολίσθησης Τ_κιν. Συνήθως είναι λίγο μικρότερη από τη μέγιστη τριβή. Γι' αυτό είναι πιο δύσκολο να ξεκινήσεις ένα βαρύ κουτί απ' όσο να το κρατήσεις σε κίνηση.

Όσο το κουτί κινείται, τρία πράγματα μπορούν να γίνουν, ανάλογα με το πόσο σπρώχνεις:

Η προσομοίωση δείχνει μόνο αν η συνισταμένη είναι 0 ή όχι. Η ταχύτητα υ φαίνεται στα βέλη και στις γραμμές του τραπεζιού που περνούν κάτω από το κουτί.

Σκέψου: Το κουτί της προσομοίωσης έχει Τ_κιν = 15 N και κινείται με 2 m/s. Τώρα το σπρώχνεις με 15 N. Πότε θα σταματήσει;

Συχνό λάθος: «Για να κινείται ένα κουτί με σταθερή ταχύτητα, πρέπει να το σπρώχνω με δύναμη μεγαλύτερη από την τριβή.» Αν σπρώχνεις με μεγαλύτερη δύναμη, η ταχύτητα αυξάνεται. Για σταθερή ταχύτητα η ώθηση είναι ίση με την τριβή.

Επιπλέον — για αργότερα

Δοκίμασε την προσομοίωση με το κουμπί «Σπρώξε σιγά σιγά». Η ώθηση μεγαλώνει ένα newton τη φορά και η τριβή τη συνοδεύει, ίση με αυτήν, ώσπου να περάσεις τη μέγιστη τιμή της. Τότε η τριβή πέφτει στην τριβή ολίσθησης και το κουτί ξεκινά με συνισταμένη που δεν είναι 0: αν δεν μειώσεις αμέσως την ώθηση, γίνεται όλο και πιο γρήγορο. Κάτι παρόμοιο νιώθεις όταν σπρώχνεις ένα βαρύ έπιπλο: μόλις κινηθεί, σπρώχνεται πιο εύκολα.

Μια ακόμα διάκριση για το μέλλον: το βάρος και η κάθετη δύναμη στο κουτί ισορροπούν, αλλά δεν είναι το ζευγάρι «δράση και αντίδραση» του τρίτου νόμου του Νεύτωνα. Αυτό θα το δούμε στο §3.7.

Δραστηριότητες

1. Πρόβλεψη: Απάντησε στην κάρτα «Πρόβλεψη» για το δαχτυλίδι με τα σχοινιά 5 N, 5 N και 3 N. Πάτησε Έναρξη και δες προς τα πού κινείται. Βρες στο σχήμα το βέλος της F_ολ: προς ποια πλευρά δείχνει σε σχέση με τα τρία σχοινιά;
2. Άλλαξε το F₃ από 3 N σε 4 N και μετά σε 5 N. Πρόβλεψε κάθε φορά αν η συνισταμένη μεγαλώνει ή μικραίνει, και κοίτα τις τιμές F_ολ,x και F_ολ,y στον πίνακα. Για ποια τιμή του F₃ ισορροπεί το δαχτυλίδι;
3. Πάτησε «3 N, 4 N, 5 N». Γράψε τις συνιστώσες κάθε δύναμης από τον πίνακα και πρόσθεσέ τες με το χέρι. Μετά γύρισε τη γωνία του τρίτου σχοινιού κατά 10°. Ποιες τιμές αλλάζουν; Ισορροπεί τώρα;
4. Πέρασε στο «Κουτί στο τραπέζι». Απάντησε στην κάρτα «Πρόβλεψη» και βάλε F = 5, 10, 15 και 20 N. Κάθε φορά γράψε την τριβή Τ. Τι παρατηρείς; Μετά βάλε 21 N και πάτησε Έναρξη.
5. Πάτησε «Σπρώξε σιγά σιγά». Γράψε τη δύναμη λίγο πριν κινηθεί το κουτί και την τριβή αμέσως μετά. Μετά ρύθμισε τη F ώστε η ταχύτητα να μένει σταθερή, και μέτρα πόσες γραμμές του τραπεζιού περνούν κάτω από το κουτί σε 2 s (κάθε γραμμή είναι 1 m). Πόση είναι η ταχύτητα; Δοκίμασε και με άλλη μάζα ή άλλη επιφάνεια.

Ασκήσεις

Λύσε κάθε άσκηση πρώτα με το χέρι και μετά έλεγξε, όπου γίνεται, στην προσομοίωση.

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Ένα μήλο με βάρος 2 N ηρεμεί στο τραπέζι. Ποια δύναμη ισορροπεί το βάρος του; Πόσο είναι το μέτρο της και προς τα πού δείχνει;

   Λύση

   Η κάθετη δύναμη F_N από το τραπέζι. Το μήλο ισορροπεί, άρα F_N − w = 0 και F_N = 2 N, προς τα πάνω.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με σταθερή ταχύτητα 90 km/h. Ένα άλλο στρίβει σε έναν κυκλικό κόμβο με σταθερό μέτρο ταχύτητας 50 km/h. Ποιο από τα δύο ισορροπεί;

   Λύση

   Ισορροπεί το πρώτο: κινείται ευθεία με σταθερή ταχύτητα. Το δεύτερο δεν ισορροπεί, γιατί αλλάζει η κατεύθυνση της ταχύτητάς του, άρα η ταχύτητά του δεν είναι σταθερή. Η συνισταμένη του δεν είναι 0.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένα κιβώτιο με βάρος 60 N ηρεμεί στο πάτωμα. Το σπρώχνεις οριζόντια με 25 N και δεν κινείται. Βρες την κάθετη δύναμη και την τριβή.

   Λύση

   Κατακόρυφα: F_N = w = 60 N. Οριζόντια: F_ολ,x = F − Τ = 0, άρα Τ = F = 25 N. Η τριβή δεν εξαρτάται εδώ από τα 60 N του βάρους, αλλά από το πόσο σπρώχνεις.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένα δαχτυλίδι ισορροπεί. Δύο σχοινιά το τραβούν με 9 N προς τα αριστερά και με 12 N προς τα πάνω. Βρες τις συνιστώσες και το μέτρο της δύναμης του τρίτου σχοινιού.

   Λύση

   Οριζόντια: −9 + F_3x = 0, άρα F_3x = +9 N (προς τα δεξιά). Κατακόρυφα: 12 + F_3y = 0, άρα F_3y = −12 N (προς τα κάτω). Μέτρο: F₃ = √9² + 12² = √81 + 144 = √225 = 15 N, προς τα κάτω δεξιά.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ένα κουτί έχει μέγιστη τριβή 30 N και τριβή ολίσθησης 25 N. (α) Το σπρώχνεις με 28 N. Κινείται; Πόση είναι η τριβή; (β) Το σπρώχνεις με 35 N και ξεκινά. Πόση είναι τώρα η τριβή; Ισορροπεί; (γ) Με πόση δύναμη θα το κρατήσεις σε κίνηση με σταθερή ταχύτητα;

   Λύση

   (α) Τα 28 N είναι μικρότερα από τη μέγιστη τριβή 30 N, άρα το κουτί δεν κινείται και η τριβή είναι Τ = F = 28 N. (β) Τώρα η τριβή είναι η τριβή ολίσθησης, 25 N. Η συνισταμένη είναι F_ολ,x = 35 − 25 = 10 N προς τα δεξιά, δηλαδή δεν είναι 0: το κουτί δεν ισορροπεί και η ταχύτητά του αυξάνεται. (γ) Για σταθερή ταχύτητα πρέπει F = Τ, δηλαδή 25 N.