Προσομοιώσεις · Γ΄ Γυμνασίου · Ηλεκτρισμός · Κεφ. 1 · §1.5

Νόμος του Coulomb

Πλήρης οθόνη

Με απλά λόγια

Οι περισσότεροι νομίζουν ότι ο νόμος του Coulomb σημαίνει «όσο πιο μακριά, τόσο πιο αδύναμη η δύναμη»: διπλάσια απόσταση, μισή δύναμη.

Το «πιο μακριά, πιο αδύναμη» στέκει. Το «μισή» όχι: με διπλάσια απόσταση η δύναμη γίνεται τέσσερις φορές μικρότερη, και με τριπλάσια εννιά φορές. Η δύναμη ανάμεσα σε δύο φορτία μεγαλώνει με τα φορτία και μικραίνει με το τετράγωνο της απόστασης: F = k·|q₁|·|q₂| διά r².

Το τετράγωνο το βλέπεις με ένα σπρέι γκράφιτι. Από ένα μέτρο το χρώμα κάνει έναν κύκλο στον τοίχο.

Από δύο μέτρα ο κύκλος έχει διπλάσιο πλάτος και διπλάσιο ύψος, δηλαδή τετραπλάσια επιφάνεια, και το ίδιο χρώμα απλώνεται τόσο που κάθε σημείο παίρνει το ένα τέταρτο. Η επίδραση ενός φορτίου απλώνεται στον χώρο με παρόμοιο τρόπο.

Βίντεο χωρίς ήχο, 13 s. Ένα σπρέι βάφει τον τοίχο από 1, 2 και 3 m. Από το πλάι ο κώνος του χρώματος ανοίγει· από μπροστά ο κύκλος καλύπτει 1, 4 και 9 τετράγωνα, και κάθε τετράγωνο παίρνει 1, ¼ και 1/9 του χρώματος, όλο και πιο αχνό. Στο τέλος: F ∼ 1/r².

Έτσι μικρές αλλαγές στην απόσταση κάνουν τεράστια διαφορά. Τα χαρτάκια δεν κουνιούνται όσο η ράβδος είναι λίγο μακριά και ξαφνικά πηδάνε όταν πλησιάσει. Κάτι ακόμα που ξαφνιάζει: τα δύο φορτία σπρώχνουν το ένα το άλλο με ίσες δυνάμεις, ακόμα κι όταν το ένα είναι πολύ μεγαλύτερο.

Κάτι που τώρα ξέρεις, ενώ οι περισσότεροι ενήλικες δεν το ξέρουν: αν διπλασιάσεις την απόσταση δύο φορτίων, η δύναμη γίνεται τέσσερις φορές μικρότερη, όχι δύο.

Θεωρία

Ο νόμος του Coulomb

Το 1785 ο Γάλλος στρατιωτικός μηχανικός Charles-Augustin de Coulomb κατασκεύασε μια πολύ ευαίσθητη ζυγαριά στρέψης: ένα οριζόντιο ραβδί κρεμασμένο από λεπτή ίνα, με ένα φορτισμένο σφαιρίδιο στη μία άκρη. Όταν πλησίαζε ένα άλλο φορτισμένο σφαιρίδιο, το ραβδί περιστρεφόταν, και από τη στρέψη της ίνας μπορούσε να μετρήσει πόσο μικρή δύναμη ασκούσαν δύο φορτία μεταξύ τους. Πώς αλλάζει όμως αυτή η δύναμη όταν αλλάζουν η απόσταση ή τα ίδια τα φορτία;

Δύο φορτισμένα σώματα αλληλεπιδρούν με ηλεκτρική δύναμη χωρίς να αγγίζονται. Όταν τα σώματα είναι πολύ μικρά σε σχέση με την απόστασή τους (σημειακά φορτία), αυτή τη δύναμη την περιγράφει ο νόμος του Coulomb.

Στην προσομοίωση δύο φορτισμένα σφαιρίδια, αρχικά q1 = +4 μC και q2 = −2 μC, απέχουν r = 0,40 m. Η δύναμη που δέχεται το καθένα είναι 0,45 N, και τα βέλη δείχνουν το ένα προς το άλλο: τα φορτία είναι αντίθετα, άρα έλκονται.

Για να το φανταστείς, σκέψου το βάρος σου: η Γη σε τραβάει προς τα κάτω, και όσο πιο μακριά βρίσκεσαι από αυτήν, τόσο πιο αδύναμα σε τραβάει.

Βάρος και ηλεκτρική δύναμη
Βάρος (έλξη από τη Γη)Ηλεκτρική δύναμη (νόμος του Coulomb)
η Γη τραβάει κάθε σώμα προς το κέντρο τηςκάθε φορτίο ασκεί δύναμη σε κάθε άλλο φορτίο
πιο μακριά από τη Γη, ασθενέστερη έλξηπιο μακριά ένα φορτίο από το άλλο, ασθενέστερη δύναμη
πιο μεγάλη μάζα, μεγαλύτερο βάροςπιο μεγάλο φορτίο, μεγαλύτερη δύναμη
η Γη σε τραβάει με όση δύναμη εσύ τραβάς τη Γηκάθε φορτίο τραβά ή σπρώχνει το άλλο με ίση δύναμη

Πού σταματά η αναλογία. Το βάρος πάντα τραβάει προς τα κάτω: όλες οι μάζες έλκονται.

Δύο φορτία όμως άλλοτε έλκονται και άλλοτε απωθούνται, ανάλογα με το πρόσημό τους. Επιπλέον η σταθερά K = 9·109 N·m2/C2 είναι τεράστια: ακόμα και πολύ μικρά φορτία, της τάξης του μC, ασκούν δυνάμεις αρκετά μεγάλες ώστε να τις νιώσουμε.

Ο νόμος του Coulomb δίνει το μέτρο της δύναμης:

F = K · |q1| · |q2| διά r2

όπου q1, q2 τα φορτία (σε C), r η απόσταση των κέντρων τους (σε m) και F η δύναμη (σε N). Η K = 9·109 N·m2/C2 είναι μια σταθερά (στο κενό και, κατά προσέγγιση, στον αέρα).

Τα φορτία στην προσομοίωση μετριούνται σε μC (μικροκουλόμπ), όχι σε C. Πριν αντικαταστήσεις σε έναν τύπο, μετάτρεψε: 1 μC = 10−6 C. Έτσι 4 μC = 4·10−6 C.

Και γιατί πάντα μικροκουλόμπ; Επειδή το κουλόμπ είναι τερατωδώς μεγάλη μονάδα. Βάλε στον τύπο δύο φορτία του 1 C σε απόσταση 1 m και δες τι βγαίνει: F = 9·109 N, δηλαδή εννιά δισεκατομμύρια newton. Τόση δύναμη ασκεί το βάρος μιας μάζας 900 000 τόνων. Δύο τέτοια φορτία δεν συναντιούνται ποτέ ακίνητα το ένα δίπλα στο άλλο· θα τινάζονταν μακριά με απίστευτη βία. Για να το δεις κι αλλιώς: το 1 C αντιστοιχεί σε 6,25·1018 ηλεκτρόνια, δηλαδή πάνω από έξι δισεκατομμύρια δισεκατομμύρια. Τόσο περίσσευμα φορτίου μαζεμένο σε ένα σημείο δεν το συναντάς στην καθημερινή ζωή. Τα φορτία που φτιάχνεις με το τρίψιμο είναι δισεκατομμύρια φορές μικρότερα, της τάξης του nC ή του μC.

Συχνό λάθος: βάζεις τα φορτία στον τύπο σε μC όπως είναι, χωρίς τη μετατροπή σε C. Το αποτέλεσμα βγαίνει τεράστιο, περίπου 1012 φορές μεγαλύτερο απ' όσο πρέπει, γιατί κάθε φορτίο «μεγαλώνει» κατά ένα εκατομμύριο. Γράφε πάντα πρώτα το φορτίο σε C, μετά αντικαθιστάς.

Λυμένο παράδειγμα 1

Δεδομένα
q1 = +4 μC = 4·10−6 C, |q2| = 2 μC = 2·10−6 C, r = 0,40 m
Ζητούμενο
το μέτρο της δύναμης F
Τύπος
F = K · |q1| · |q2| διά r2
Υπολογισμός

F = 9·109 · 4·10−6 · 2·10−6 διά 0,402

F = 0,072 διά 0,16

F = 0,45 N

Απάντηση
F = 0,45 N. Τα φορτία είναι αντίθετα (+ και −), άρα έλκονται· τα δύο βέλη δείχνουν το ένα προς το άλλο.

Γρήγορος έλεγχος: Δύο φορτία έχουν δύναμη F. Τριπλασιάζουμε το ένα φορτίο, χωρίς να αλλάξουμε τίποτα άλλο. Τι θα γίνει η δύναμη;

Απάντηση

Θα γίνει 3F: η δύναμη είναι ανάλογη με κάθε φορτίο χωριστά.

Η δύναμη και η απόσταση

Η δύναμη είναι αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο της απόστασης. Δεν λέει «διπλάσια απόσταση, μισή δύναμη»: το r είναι υψωμένο στο τετράγωνο, οπότε διπλάσια απόσταση σημαίνει τέσσερις φορές μικρότερη δύναμη.

Πρόβλεψε: στο παράδειγμα 1 η δύναμη ήταν 0,45 N σε r = 0,40 m. Αν διπλασιάσεις την απόσταση σε r = 0,80 m, η δύναμη θα γίνει η μισή, το ένα τέταρτο ή κάτι άλλο;

Απάντηση

Το ένα τέταρτο: 22 = 4, άρα η δύναμη διαιρείται με το 4.

Λυμένο παράδειγμα 2

Δεδομένα
q1 = +4 μC = 4·10−6 C, |q2| = 2 μC = 2·10−6 C (ίδια με πριν), r = 0,80 m (διπλάσια απόσταση)
Ζητούμενο
το νέο F, και πόσες φορές άλλαξε σε σχέση με το παράδειγμα 1
Τύπος
F = K · |q1| · |q2| διά r2
Υπολογισμός

F = 9·109 · 4·10−6 · 2·10−6 διά 0,802

F = 0,072 διά 0,64

Συμπλήρωσε: F = ___ N

Απάντηση
Συμπλήρωσε το F παραπάνω.
Απάντηση

F = 0,1125 N, δηλαδή το 1 διά 4 της αρχικής δύναμης (0,45 N), ακριβώς όπως προέβλεψε ο νόμος του Coulomb για διπλάσια απόσταση.

Ίδια φορτία, διαφορετικές αποστάσεις
Απόστασηr2r3rr διά 2
ΔύναμηFF διά 4F διά 94F

Συχνό λάθος: πολλοί υποθέτουν ότι διπλάσια απόσταση σημαίνει μισή δύναμη, επειδή σκέφτονται μόνο το r και ξεχνούν το τετράγωνο. Στην πραγματικότητα η δύναμη γίνεται το ένα τέταρτο, όχι το μισό. Για να μην ξεχνιέται, γράφε πάντα r2 στον παρονομαστή πριν αντικαταστήσεις αριθμούς.

Γρήγορος έλεγχος: αν τριπλασιάσεις την απόσταση δύο φορτίων, η δύναμη γίνεται το ένα τρίτο;

Απάντηση

Όχι, γίνεται το ένα ένατο (1 διά 3² = 1 διά 9), γιατί η δύναμη εξαρτάται από το τετράγωνο της απόστασης, όχι από την ίδια την απόσταση.

Η δύναμη και τα φορτία

Η δύναμη είναι ανάλογη με το φορτίο κάθε σώματος, άρα και με το γινόμενο |q1| · |q2|. Αν υποδιπλασιάσεις το ένα φορτίο, η δύναμη υποδιπλασιάζεται. Αν ένα από τα φορτία είναι μηδέν, δεν ασκείται δύναμη.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: υποδιπλασιάζουμε το q1 και διπλασιάζουμε το q2 ταυτόχρονα, χωρίς να αλλάξουμε την απόσταση. Τι γίνεται η δύναμη;

Απάντηση

Μένει ίδια: το γινόμενο |q1| · |q2| δεν αλλάζει, αφού ½ · 2 = 1.

Διεύθυνση και φορά

Οι δύο δυνάμεις βρίσκονται πάνω στην ευθεία που ενώνει τα φορτία. Τα όμοια φορτία απωθούνται και τα αντίθετα έλκονται.

Η δύναμη F1 που δέχεται το q1 και η δύναμη F2 που δέχεται το q2 έχουν ίσα μέτρα και αντίθετη φορά. Αυτό ισχύει ακόμη κι όταν τα φορτία είναι άνισα: είναι ζεύγος δράσης–αντίδρασης (τρίτος νόμος του Νεύτωνα).

Γρήγορος έλεγχος: το q1 = +10 μC είναι πέντε φορές μεγαλύτερο από το q2 = +2 μC. Ποιο φορτίο δέχεται τη μεγαλύτερη δύναμη;

Απάντηση

Καμία: οι δύο δυνάμεις έχουν ίσο μέτρο, όπως λέει ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα, παρόλο που τα φορτία είναι πολύ διαφορετικά.

Δραστηριότητες

  1. Πρόβλεψη: Αν διπλασιάσεις την απόσταση, τι θα γίνει η δύναμη; Απάντησε στην κάρτα «Πρόβλεψη» και μετά πάτησε ×2 r. Κοίτα την τιμή F διά Fπριν.
  2. Πάτησε ½ q1 και μετά ×2 q1. Πώς αλλάζει η δύναμη; Συμφωνεί με τη θεωρία;
  3. Κάνε q1 = +10 μC και q2 = +1 μC. Ποιο φορτίο δέχεται μεγαλύτερη δύναμη; Σύγκρινε τα βέλη.
  4. Άλλαξε το πρόσημο του q2. Τι αλλάζει στις δυνάμεις και τι μένει ίδιο;
  5. Σύρε το ένα φορτίο σιγά σιγά μακριά και παρακολούθησε το σημείο στο γράφημα F–r. Γιατί η καμπύλη δεν είναι ευθεία;

Ασκήσεις

Λύσε κάθε άσκηση και έλεγξε την απάντηση στην προσομοίωση.

  1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Ποια ζευγάρια φορτίων έλκονται και ποια απωθούνται; (α) +2 μC και +5 μC, (β) −1 μC και +4 μC, (γ) −3 μC και −3 μC. Σε ποια μονάδα μετράμε τη δύναμη;

    Λύση

    (α) Απωθούνται: και τα δύο είναι θετικά. (β) Έλκονται: είναι αντίθετα. (γ) Απωθούνται: και τα δύο είναι αρνητικά. Τη δύναμη τη μετράμε σε newton (N).

  2. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Δύο σημειακά φορτία q1 = +2 μC και q2 = +3 μC απέχουν r = 0,30 m. Υπολόγισε το μέτρο της δύναμης. Τα φορτία έλκονται ή απωθούνται;

    Λύση

    F = 9·109 · 2·10−6 · 3·10−6 διά 0,302 = 0,054 διά 0,09 = 0,6 N. Τα φορτία είναι όμοια, άρα απωθούνται.

  3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Τα σφαιρίδια Α και Β έχουν φορτία −1 μC και +4 μC και απέχουν 0,50 m. Υπολόγισε τη δύναμη που ασκεί το Α στο Β και τη δύναμη που ασκεί το Β στο Α, και σχεδίασέ τες.

    Λύση

    F = 9·109 · 1·10−6 · 4·10−6 διά 0,502 = 0,144 N. Τα φορτία είναι αντίθετα, άρα έλκονται: κάθε δύναμη δείχνει προς το άλλο σφαιρίδιο. Οι δύο δυνάμεις έχουν ίσα μέτρα (0,144 N) και αντίθετη φορά, όπως λέει ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα.

  4. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Δύο φορτισμένα σφαιρίδια έλκονται με δύναμη 0,8 N όταν απέχουν 0,20 m. Πόση γίνεται η δύναμη όταν απέχουν 0,40 m; Και όταν απέχουν 0,60 m;

    Λύση

    Διπλάσια απόσταση: 0,8 διά 4 = 0,2 N. Τριπλάσια απόσταση: 0,8 διά 9 ≈ 0,089 N.

  5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Η δύναμη ανάμεσα σε δύο φορτία είναι 0,36 N. Υποδιπλασιάζουμε το q1 και διπλασιάζουμε το q2, χωρίς να αλλάξει η απόσταση. Πόση γίνεται η δύναμη;

    Λύση

    Το γινόμενο των φορτίων μένει ίδιο (½ · 2 = 1), άρα η δύναμη μένει 0,36 N.

Τι πρέπει να θυμάσαι

  • Ο νόμος του Coulomb: F = K·|q1|·|q2|/r2, με K = 9·109 N·m2/C2.
  • Πριν αντικαταστήσεις, μετάτρεψε τα φορτία από μC σε C (1 μC = 10−6 C).
  • Η δύναμη είναι αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο της απόστασης: διπλάσια απόσταση, το ένα τέταρτο της δύναμης.
  • Η δύναμη είναι ανάλογη με κάθε φορτίο χωριστά.
  • Όμοια φορτία απωθούνται, αντίθετα έλκονται· οι δύο δυνάμεις έχουν πάντα ίσο μέτρο και αντίθετη φορά (τρίτος νόμος του Νεύτωνα).

Γρήγορος έλεγχος

  1. Ποιος τύπος δίνει τη δύναμη Coulomb;
    Απάντηση

    F = K·|q1|·|q2|/r2.

  2. Δύο φορτία +3 μC και +5 μC: έλκονται ή απωθούνται;
    Απάντηση

    Απωθούνται: είναι όμοια (και τα δύο θετικά).

  3. Τριπλασιάζεις την απόσταση ανάμεσα σε δύο φορτία. Η δύναμη γίνεται πόσες φορές μικρότερη;
    Απάντηση

    9 φορές μικρότερη (32 = 9).

Ένα πρόβλημα για σένα

Δύο φορτία +6 μC και −3 μC απέχουν 0,20 m. Υπολόγισε τη δύναμη που ασκεί το ένα στο άλλο, και πες αν έλκονται ή απωθούνται.