Εφαρμογές Μαθηματικών · Γεωμετρία · Κεφ. 2 · §2.1

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας 0°–180°

Θεωρία

Η γωνία πάνω στους άξονες

Για να ορίσεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας ω με 0° ≤ ω ≤ 180°: βάζεις την κορυφή της στην αρχή Ο ενός συστήματος αξόνων Οxy, τη μία πλευρά της πάνω στον θετικό ημιάξονα Οx, και η άλλη της πλευρά γίνεται μια ημιευθεία ΟΜ — δηλαδή ω = xγωνία ΟΜ. Πάνω σε αυτή την ημιευθεία διαλέγεις ένα οποιοδήποτε σημείο Μ(x, y), διαφορετικό από το Ο, με y ≥ 0 — αυτός ο περιορισμός είναι που κρατά τη γωνία ανάμεσα σε 0° και 180°.

Σκέψου: αν το Μ έχει x < 0, σε ποιο μισό του επιπέδου βρίσκεται η ημιευθεία ΟΜ, και τι λέει αυτό για τη γωνία ω;

Η απόσταση ρ = ΟΜ, από το Πυθαγόρειο θεώρημα

Το τμήμα ΟΜ και οι προβολές του Μ στους άξονες σχηματίζουν πάντα ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές |x| και y και υποτείνουσα ρ. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα:

ρ = √x² + y²

Γρήγορος έλεγχος: το σημείο Μ(6, 8). Πόσο κάνει το ρ;

Οι τρεις τριγωνομετρικοί αριθμοί

Με το Μ(x, y) και το ρ = ΟΜ, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω ορίζονται έτσι:

ημω = y διά ρ, συνω = x διά ρ, εφω = y διά x (όταν x διάφορο του 0)

Το εφω χρειάζεται x ≠ 0, αφού δεν διαιρούμε ποτέ με το 0. Όταν η γωνία ω είναι οξεία, αυτοί οι τύποι δίνουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσματα με το ορθογώνιο τρίγωνο που ήδη ήξερες — απλώς το x και το y πήραν τη θέση των δύο κάθετων πλευρών.

Γιατί δεν έχει σημασία ποιο Μ διαλέγεις

Στην εφαρμογή, η επιλογή «Μόνο πάνω στην ημιευθεία ΟΜ» κρατά το Μ πάνω στην ίδια ημιευθεία ενώ το σέρνεις πιο μακριά ή πιο κοντά στο Ο — και οι αριθμοί ημω, συνω, εφω δεν αλλάζουν καθόλου. Ο λόγος είναι απλός: αν το Μ′ είναι ένα άλλο σημείο της ίδιας ημιευθείας, οι συντεταγμένες του είναι k φορές του Μ για κάποιον θετικό αριθμό k, δηλαδή Μ′(kx, ky). Τότε το ορθογώνιο τρίγωνο του Μ′ είναι όμοιο με του Μ (ίδιες γωνίες, k φορές μεγαλύτερες πλευρές), οπότε ρ′ = kρ και:

ky διά kρ = y διά ρ

Ο λόγος για το Μ′ είναι ίδιος με τον λόγο για το Μ: το ημω δεν άλλαξε.

Το ίδιο ισχύει για το συνω και το εφω: εξαρτώνται μόνο από τη γωνία ω, ποτέ από το πόσο μακριά διάλεξες το Μ.

Πρόβλεψε: στην εφαρμογή, τσέκαρε «Μόνο πάνω στην ημιευθεία ΟΜ» και σύρε το Μ πιο μακριά από το Ο. Το ημω θα μεγαλώσει, θα μείνει ίδιο ή θα μικρύνει;

Πρόσημα: οξεία και αμβλεία γωνία

Το πρόσημο κάθε τριγωνομετρικού αριθμού έρχεται από τα πρόσημα του x και του y του Μ (το ρ είναι πάντα θετικό, αφού είναι απόσταση):

• ω οξεία (Μ στο 1ο τεταρτημόριο): x > 0, y > 0, άρα ημω > 0, συνω > 0, εφω > 0.
• ω αμβλεία (Μ στο 2ο τεταρτημόριο): x < 0, y > 0, άρα ημω > 0, συνω < 0, εφω < 0.

Το ημω δεν είναι ποτέ αρνητικό σε αυτό το εύρος γωνιών, αφού απαιτήσαμε y ≥ 0 (είναι 0 μόνο στις 0° και 180°). Το συνω και το εφω αλλάζουν πρόσημο ακριβώς όταν η γωνία περάσει τις 90°.

Συχνό λάθος: να υπολογίζεις σωστά τα κλάσματα αλλά να ξεχνάς το πρόσημο του x όταν η γωνία είναι αμβλεία. Παράδειγμα: Μ(−6, 8). Το λάθος είναι να γράψεις συνω = 6 διά 10 = 0,6 χρησιμοποιώντας μόνο το μέγεθος του x. Το σωστό: συνω = −6 διά 10 = −0,6 — το x μπαίνει στο κλάσμα με το πρόσημό του, όχι μόνο με το μήκος του.

Οι γωνίες 0°, 90°, 180°

Οι ίδιοι τύποι δουλεύουν και στα άκρα του εύρους, χωρίς εξαίρεση — αρκεί να διαλέξεις το σωστό Μ πάνω σε κάθε ημιάξονα.

Στις 90° το Μ είναι πάνω στον άξονα Οy, άρα x = 0: το εφω, που χρειάζεται διαίρεση με το x, δεν ορίζεται εκεί — δεν είναι λάθος υπολογισμού, είναι σημείο όπου ο τύπος δεν έχει νόημα.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: γιατί το εφ90° δεν ορίζεται, ενώ το ημ90° και το συν90° ορίζονται κανονικά;

Οι γωνίες 30°, 45°, 60°

Θυμήσου από πριν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς αυτών των τριών συχνών γωνιών — θα τους χρειαστείς συχνά χωρίς αριθμομηχανή:

Σειρά σου: χωρίς αριθμομηχανή, πόσο κάνει το συν60°;

Ο μοναδιαίος κύκλος: ρ = 1

Στην εφαρμογή, ο «Μοναδιαίος κύκλος» διαλέγει πάντα το Μ πάνω στον κύκλο ακτίνας 1 γύρω από το Ο, δηλαδή ρ = 1. Οι τύποι απλοποιούνται αμέσως:

συνω = x, ημω = y

Το συνω είναι απλώς η τετμημένη του Μ, και το ημω η τεταγμένη του — δεν χρειάζεται καν διαίρεση. Κι επειδή το Μ κινείται πάνω σε αυτόν ακριβώς τον κύκλο:

−1 ≤ συνω ≤ 1, 0 ≤ ημω ≤ 1

Το άνω όριο 1 είναι ακριβώς το γεγονός που είδες στην αρχή της σελίδας («Κάτι που τώρα ξέρεις…»): τώρα το βλέπεις και γεωμετρικά, αφού η τετμημένη και η τεταγμένη ενός σημείου του μοναδιαίου κύκλου δεν μπορούν ποτέ να ξεπεράσουν την ακτίνα 1.

Γρήγορος έλεγχος: στον μοναδιαίο κύκλο, με ω = 180°, το Μ είναι το σημείο (−1, 0). Ποιο είναι το συνω;

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής, απάντησε πρώτα στην ερώτηση πρόβλεψης. Μετά, στο «Δείξε» με επιλεγμένο «Σημείο Μ(x, y)», σύρε το Μ σε διάφορες θέσεις και παρακολούθησε τα ημω, συνω, εφω στην περιοχή πληροφοριών.
2. Τσέκαρε «Μόνο πάνω στην ημιευθεία ΟΜ» και σύρε το Μ πιο μακριά ή πιο κοντά στο Ο: επιβεβαίωσε ότι οι αριθμοί δεν αλλάζουν, όπως προέβλεψες.
3. Άλλαξε το «Δείξε» σε «Μοναδιαίος κύκλος» και μετακίνησε το ρυθμιστικό «ω =» από 0° ως 180°: παρακολούθησε τα πρόσημα να αλλάζουν στις 90°, και τη γραμμή του εφω να λέει «δεν ορίζεται» ακριβώς εκεί.
4. Στον μοναδιαίο κύκλο, σύρε το ίδιο το σημείο Μ πάνω στο τόξο αντί να χρησιμοποιήσεις το ρυθμιστικό, και δες ότι το συνω και το ημω είναι ακριβώς οι συντεταγμένες του.
5. Πάτησε N μέχρι να επιλεγεί το σημείο Μ, και μετακίνησέ το με τα βέλη του πληκτρολογίου αντί με το ποντίκι, και στους δύο τρόπους («Σημείο Μ(x, y)» και «Μοναδιαίος κύκλος»).

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Ποιος τύπος δίνει το εφω από τις συντεταγμένες του Μ, και γιατί χρειάζεται x ≠ 0;

   Λύση

   εφω = y διά x. Χρειάζεται x ≠ 0 γιατί δεν διαιρούμε ποτέ με το 0 — αυτό συμβαίνει ακριβώς στις 90°.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Το σημείο Μ βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο. Ποιο πρόσημο έχουν το ημω, το συνω και το εφω;

   Λύση

   ημω > 0, συνω < 0, εφω < 0: στο 2ο τεταρτημόριο είναι x < 0 και y > 0.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Σημείο Μ(−3, 4) πάνω στην πλευρά της γωνίας ω. Βρες το ρ και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της ω.

   Λύση

   ρ = √(−3)² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5. ημω = 4 διά 5 = 0,8, συνω = −3 διά 5 = −0,6, εφω = 4 διά −3 = −4 διά 3 ≈ −1,33.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Το σημείο Μ έχει τετμημένη x = 12 και εφω = 5 διά 12. Βρες την τεταγμένη y του Μ, το ρ, και τα ημω, συνω.

   Λύση

   Από εφω = y διά x έχουμε y = εφω · x = 5 διά 12 · 12 = 5, άρα Μ(12, 5). ρ = √12² + 5² = √144 + 25 = √169 = 13. ημω = 5 διά 13, συνω = 12 διά 13.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ένας μαθητής, με σημείο Μ(6, 8) (οπότε ρ = 10), υπολόγισε ημω = 10 διά 8 = 1,25. Βρες το σωστό ημω, και εξήγησε γιατί η απάντηση 1,25 δεν μπορούσε ποτέ να είναι σωστή, ακόμα κι αν δεν ήξερες τον σωστό τύπο.

   Λύση

   Το σωστό είναι ημω = 8 διά 10 = 0,8· ο μαθητής αντέστρεψε το κλάσμα, γράφοντας ρ διά y αντί για y διά ρ. Ακόμα κι αν δεν έβλεπες το λάθος στον τύπο, το 1,25 δεν βγάζει νόημα: το ημω δεν ξεπερνά ποτέ το 1, αφού το y δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από την υποτείνουσα ρ.