Εφαρμογές Μαθηματικών · Γεωμετρία · Κεφ. 1 · §1.3

Θεώρημα του Θαλή

Θεωρία

Το θεώρημα του Θαλή

Έστω τρεις (ή περισσότερες) παράλληλες ευθείες που κόβουν δύο άλλες ευθείες: τη μία σε σημεία Α, Β, Γ, την άλλη στα αντίστοιχα σημεία Α′, Β′, Γ′, με την ίδια σειρά. Τότε τα τμήματα που σχηματίζονται είναι ανάλογα:

ΑΒ διά ΒΓ = Α′Β′ διά Β′Γ′

Το ίδιο θεώρημα γράφεται και συγκρίνοντας τις δύο ευθείες μεταξύ τους αντί για τα δύο κομμάτια της καθεμιάς:

ΑΒ διά Α′Β′ = ΒΓ διά Β′Γ′ = ΑΓ διά Α′Γ′

Το Α, το Β και το Γ είναι τα σημεία όπου οι τρεις παράλληλες κόβουν την πρώτη ευθεία, με τη σειρά που τις συναντά κανείς πάνω της· το Α′, το Β′ και το Γ′ είναι τα σημεία όπου οι ίδιες ακριβώς παράλληλες κόβουν τη δεύτερη ευθεία. Στην εφαρμογή, στη λειτουργία «Παράλληλες και δύο ευθείες», αυτά είναι οι ευθείες ε₁, ε₂, ε₃ και οι τέμνουσες δ₁, δ₂· οι δύο λόγοι εμφανίζονται ζωντανά καθώς σέρνεις.

Σκέψου: αν στην πρώτη ευθεία το ΑΒ είναι ίσο με το ΒΓ, τι περιμένεις για το Α′Β′ και το Β′Γ′ στη δεύτερη;

Γιατί ισχύει: ίσα κομμάτια σε ίσα κομμάτια

Ξεκίνα από την πιο απλή περίπτωση, τις γραμμές του τετραδίου: παράλληλες που κόβουν ίσα κομμάτια πάνω σε μία ευθεία. Αν φέρεις από κάθε σημείο μια βοηθητική ευθεία παράλληλη στην πρώτη τέμνουσα, σχηματίζονται παραλληλόγραμμα ανάμεσα σε διαδοχικές παράλληλες· σε ένα παραλληλόγραμμο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες, άρα τα αντίστοιχα κομμάτια στη δεύτερη ευθεία είναι κι αυτά ίσα μεταξύ τους. Ίσα κομμάτια στη μία δίνουν ίσα κομμάτια στην άλλη.

Από εκεί προκύπτει η αναλογία και για κομμάτια που δεν είναι ίσα: αν το ΑΒ χωρίζεται σε m ίσα μικρά κομμάτια με ένα κοινό μέτρο και το ΒΓ σε n τέτοια ίδια κομμάτια, τότε — όπως μόλις είδες — η δεύτερη ευθεία χωρίζεται κι αυτή σε m και n ίσα κομμάτια στις αντίστοιχες θέσεις. Άρα ΑΒ/ΒΓ = m/n και Α′Β′/Β′Γ′ = m/n επίσης: οι δύο λόγοι είναι αναγκαστικά ίσοι.

Γρήγορος έλεγχος: αν το ΑΒ χωράει 2 φορές σε ένα κοινό μέτρο και το ΒΓ 6 φορές, πόσες φορές πρέπει να χωράει το ίδιο (σε κλίμακα) κοινό μέτρο στο Β′Γ′, αν στο Α′Β′ χωράει 2 φορές;

Το αντίστροφο: πότε οι ευθείες ΔΕΝ είναι παράλληλες

Το θεώρημα δουλεύει και σαν έλεγχος, ανάποδα: αν μετρήσεις τα τέσσερα τμήματα πάνω σε δύο ευθείες που κόβουν τρεις άλλες, και οι δύο λόγοι ΑΒ/ΒΓ και Α′Β′/Β′Γ′ βγουν διαφορετικοί, τότε οι τρεις ευθείες δεν μπορεί να είναι παράλληλες μεταξύ τους. Ίσοι λόγοι δεν αποδεικνύουν από μόνοι τους την παραλληλία, αλλά άνισοι λόγοι αποδεικνύουν σίγουρα ότι δεν υπάρχει παραλληλία.

Στην εφαρμογή, «Αν δεν είναι παράλληλες;» στρίβει μόνη της η μεσαία ευθεία ε₂ με το ρυθμιστικό «στροφή της ε₂»: όσο αυτό μένει στις 0°, οι τρεις ευθείες είναι παράλληλες και οι δύο λόγοι ταυτίζονται· μόλις το μετακινήσεις, οι λόγοι χωρίζουν αμέσως.

Πρόβλεψε: στη λειτουργία «Αν δεν είναι παράλληλες;», αν στρίψεις την ε₂ λίγο και μετά την ξαναφέρεις ακριβώς στις 0°, θα ξαναγίνουν οι δύο λόγοι ίσοι;

Ο Θαλής μέσα σε τρίγωνο

Ένα τρίγωνο με μια ευθεία παράλληλη σε μία πλευρά του είναι μια ειδική περίπτωση του ίδιου θεωρήματος: φαντάσου μια τρίτη παράλληλη να περνά ακριβώς από την απέναντι κορυφή. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, αν το Δ είναι πάνω στην πλευρά ΑΒ, το Ε πάνω στην πλευρά ΑΓ, και η ΔΕ είναι παράλληλη στη ΒΓ, τότε:

ΑΔ διά ΔΒ = ΑΕ διά ΕΓ

Η ίδια σχέση γράφεται και συγκρίνοντας κάθε κομμάτι με ολόκληρη την πλευρά, αντί με το άλλο κομμάτι:

ΑΔ διά ΑΒ = ΑΕ διά ΑΓ

Στην εφαρμογή, «Σε τρίγωνο» σχεδιάζει ακριβώς αυτό: σέρνεις τις κορυφές Α, Β, Γ ή το ρυθμιστικό «ΑΔ : ΑΒ» για να μετακινήσεις το Δ πάνω στην ΑΒ, και η ΔΕ μένει πάντα παράλληλη στη ΒΓ.

Σειρά σου: αν το Δ είναι ακριβώς στο μέσο της ΑΒ (ΑΔ = ΔΒ), πού περιμένεις να πέσει το Ε πάνω στην ΑΓ;

Διαίρεση τμήματος σε ίσα μέρη ή σε δοσμένο λόγο

Στο §1.2 είδες πώς βρίσκεις με κανόνα και διαβήτη το σημείο που χωρίζει ένα τμήμα ΑΒ σε δοσμένο λόγο. Το θεώρημα του Θαλή είναι ακριβώς το εργαλείο πίσω από αυτή την κατασκευή: φέρνεις από το Α μια βοηθητική ημιευθεία, σημαδεύεις πάνω της ίσα βήματα με τον διαβήτη — π.χ. 3 βήματα για το πρώτο κομμάτι και 2 για το δεύτερο, αν θέλεις λόγο 3:2 — ενώνεις το τελευταίο σημάδι με το Β, και φέρνεις από το ενδιάμεσο σημάδι μια παράλληλη σε αυτή την ένωση. Επειδή τα βήματα στην ημιευθεία είναι ίσα, η παράλληλος κόβει την ΑΒ ακριβώς στον ίδιο λόγο 3:2 — είναι η ίδια ιδέα των ίσων κομματιών που είδες πιο πάνω, μόνο σε δύο βήματα (m και n) αντί για ένα ίσο βήμα κάθε φορά. Η ειδική περίπτωση m = n δίνει το μέσο του τμήματος, δηλαδή χωρισμό σε δύο ίσα μέρη.

Μια ιστορία: η σκιά της πυραμίδας

Λέγεται —χωρίς να είναι σίγουρο ότι έγινε ακριβώς έτσι— ότι ο ίδιος ο Θαλής μέτρησε το ύψος μιας πυραμίδας στην Αίγυπτο χωρίς να σκαρφαλώσει πάνω της. Περίμενε τη στιγμή της ημέρας όπου η σκιά ενός όρθιου ραβδιού γνωστού ύψους ήταν ίση σε μήκος με το ίδιο το ραβδί· εκείνη ακριβώς τη στιγμή, η σκιά της πυραμίδας ήταν κι αυτή ίση με το πραγματικό της ύψος. Οι ακτίνες του ήλιου, σε τόσο μεγάλη απόσταση, φτάνουν σχεδόν παράλληλες — κι εκεί κρύβεται ξανά η ίδια ιδέα των ανάλογων τμημάτων κάτω από παράλληλες ευθείες.

Συχνό λάθος: να προσθέτεις τη διαφορά ανάμεσα σε δύο τμήματα αντί να κρατάς τον λόγο τους. Παράδειγμα: ΑΒ = 2, ΒΓ = 6 (το ΒΓ είναι κατά 4 μεγαλύτερο από το ΑΒ), Α′Β′ = 3. Το λάθος είναι να υπολογίσεις Β′Γ′ = 3 + 4 = 7, προσθέτοντας την ίδια διαφορά. Το σωστό: ο λόγος είναι 2 διά 6 = 1 διά 3, άρα και Α′Β′ διά Β′Γ′ = 1 διά 3, δηλαδή Β′Γ′ = 9. Ο Θαλής μιλά για λόγους, ποτέ για διαφορές — δοκίμασέ το και στην ερώτηση πρόβλεψης στην αρχή της εφαρμογής.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: γιατί προσθέτοντας μια σταθερή διαφορά σε κάθε τμήμα δεν κρατάει τον λόγο τους ίσο;

Επιπλέον — για αργότερα

Στην §1.4 θα δεις την ομοιοθεσία: ένα κέντρο και έναν λόγο λ που μεγεθύνουν ή σμικρύνουν ολόκληρο ένα σχήμα, κρατώντας ταυτόχρονα όλες τις αναλογίες που μόλις είδες εδώ.

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής («Δείξε» → «Παράλληλες και δύο ευθείες»), απάντησε πρώτα στην ερώτηση πρόβλεψης. Μετά σύρε τις λαβές των παράλληλων στα αριστερά ή το ρυθμιστικό «κλίση των παραλλήλων», και δες τους δύο λόγους στα δεξιά να μένουν ίσοι.
2. Στην ίδια λειτουργία, σύρε τα δύο σημεία της τέμνουσας δ₂ (πάνω και κάτω) ώστε να γίνει πολύ πιο λοξή: οι τιμές ΑΒ, ΒΓ, Α′Β′, Β′Γ′ αλλάζουν, αλλά ο λόγος ΑΒ/ΒΓ παραμένει ίσος με τον Α′Β′/Β′Γ′.
3. Επίλεξε «Δείξε» → «Αν δεν είναι παράλληλες;» και κίνησε το ρυθμιστικό «στροφή της ε₂» μακριά από το 0°: δες τους δύο λόγους να χωρίζουν, και ξαναφέρε το ρυθμιστικό στο 0° για να ξαναγίνουν ίσοι.
4. Επίλεξε «Δείξε» → «Σε τρίγωνο» και κίνησε το ρυθμιστικό «ΑΔ : ΑΒ» από τη μία άκρη ως την άλλη: παρακολούθησε πώς η ΔΕ μένει πάντα παράλληλη στη ΒΓ, και τα δύο κλάσματα ΑΔ/ΔΒ και ΑΕ/ΕΓ κάτω δεξιά μένουν ίσα.
5. Στη λειτουργία «Παράλληλες και δύο ευθείες», επίλεξε μία λαβή ευθείας (πατώντας N μέχρι να φτάσεις σε μια «ευθεία ε») και μετακίνησέ τη με τα βέλη του πληκτρολογίου αντί με το ποντίκι: δες τη γραμμή να ανεβαίνει ή να κατεβαίνει, παράλληλη με τις άλλες δύο.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Τρεις παράλληλες ευθείες κόβουν δύο άλλες ευθείες σε σημεία Α, Β, Γ και Α′, Β′, Γ′, με την ίδια σειρά. Ποια σχέση ισχύει ανάμεσα στα τέσσερα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, Α′Β′, Β′Γ′;

   Λύση

   Είναι ανάλογα: ΑΒ διά ΒΓ = Α′Β′ διά Β′Γ′ (θεώρημα του Θαλή).

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Σε τρίγωνο ΑΒΓ, το Δ είναι πάνω στην ΑΒ και το Ε πάνω στην ΑΓ, με ΔΕ παράλληλη στη ΒΓ. Ποια αναλογία ισχύει ανάμεσα στα ΑΔ, ΔΒ, ΑΕ, ΕΓ;

   Λύση

   ΑΔ διά ΔΒ = ΑΕ διά ΕΓ — το θεώρημα του Θαλή μέσα στο τρίγωνο.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Τρεις παράλληλες κόβουν μια ευθεία με ΑΒ = 4, ΒΓ = 10, και μια δεύτερη ευθεία με Α′Β′ = 6. Βρες το Β′Γ′.

   Λύση

   4 διά 10 = 6 διά Β′Γ′, άρα Β′Γ′ = 6 · 10 : 4 = 15.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Σε τρίγωνο ΑΒΓ, η ΔΕ είναι παράλληλη στη ΒΓ, με ΑΔ = 5, ΔΒ = 15, ΑΓ = 24. Βρες τα ΑΕ και ΕΓ.

   Λύση

   Ο λόγος είναι 5 διά 15 = 1 διά 3, άρα ΑΕ/ΕΓ = 1/3 και ΑΕ + ΕΓ = 24. Λύνοντας: ΑΕ = 6, ΕΓ = 18.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Τρεις παράλληλες κόβουν μια ευθεία με ΑΒ = 2, ΒΓ = 6, και μια δεύτερη ευθεία με Α′Β′ = 3. Ένας μαθητής υπολόγισε το Β′Γ′ προσθέτοντας στο Α′Β′ τη διαφορά ΒΓ − ΑΒ = 4, βρίσκοντας 7. Βρες το σωστό Β′Γ′ και εξήγησε γιατί το λάθος αυτό δίνει άλλη απάντηση.

   Λύση

   Ο λόγος είναι 2 διά 6 = 1 διά 3, άρα Β′Γ′ = 3 · 3 = 9, όχι 7. Το θεώρημα του Θαλή συνδέει τα τμήματα με λόγο (πολλαπλασιασμό), όχι με σταθερή διαφορά (πρόσθεση)· προσθέτοντας την ίδια διαφορά σε τμήματα που δεν ήταν ίσα, ο λόγος τους αλλάζει.