Εφαρμογές Μαθηματικών · Γεωμετρία · Κεφ. 2 · §2.2

Παραπληρωματικές γωνίες

Θεωρία

Παραπληρωματικές γωνίες: ω και 180° − ω

Δύο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές όταν το άθροισμά τους είναι 180° — την ίδια σχέση που έχουν ήδη δύο διαδοχικές γωνίες πάνω σε ευθεία. Αν η μία γωνία είναι ω, η παραπληρωματική της είναι 180° − ω, και ισχύει πάντα 0° ≤ ω ≤ 180° ώστε και οι δύο να έχουν νόημα ως γωνίες του μοναδιαίου κύκλου.

Γρήγορος έλεγχος: ποια είναι η παραπληρωματική της γωνίας 70°;

Το Μ′ είναι το καθρέφτισμα του Μ ως προς τον άξονα y′y

Πάρε τη γωνία ω με το σημείο της Μ(x, y) πάνω στον μοναδιαίο κύκλο (ρ = 1), και τη γωνία 180° − ω με το σημείο της Μ′. Τα Μ και Μ′ είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y′y: έχουν το ίδιο y και αντίθετο x, ενώ η απόσταση από το Ο μένει η ίδια (ρ = 1 και για τα δύο). Αφού ημω = y και συνω = x, από τη συμμετρία προκύπτει:

ημ(180° − ω) = ημω

συν(180° − ω) = −συνω

Η εφαπτομένη είναι πηλίκο εφω = ημω διά συνω: ο αριθμητής μένει ίδιος, ο παρονομαστής αλλάζει πρόσημο, άρα κι αυτή αλλάζει πρόσημο:

εφ(180° − ω) = −εφω

Πρόβλεψε: αν ημ50° ≈ 0,77, πόσο είναι το ημ130°, χωρίς υπολογιστή;

Πίνακας: 120°, 135°, 150° από τις γνωστές γωνίες

Αφού οι 120°, 135°, 150° είναι οι παραπληρωματικές των γνωστών σου γωνιών 60°, 45°, 30°, βρίσκεις τους τριγωνομετρικούς τους αριθμούς χωρίς νέα απομνημόνευση: το ημίτονο μένει ίδιο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη αλλάζουν μόνο πρόσημο.

Σειρά σου: χωρίς να κοιτάξεις τον πίνακα, πόσο είναι το συν135°;

Δύο γωνίες, το ίδιο ημίτονο

Το ημ30° και το ημ150° είναι ίσα — δηλαδή, αν σου δώσουν μόνο «ημx = 0,5» και ζητήσουν τη γωνία x, δεν υπάρχει ένας μοναδικός τρόπος να απαντήσεις. Χρειάζεσαι κάτι παραπάνω (π.χ. αν η γωνία είναι οξεία ή αμβλεία) για να διαλέξεις. Γενικά:

Αν 0° ≤ x ≤ 180° και ημx = ημφ, τότε x = φ ή x = 180° − φ

Το συνημίτονο και η εφαπτομένη δεν έχουν αυτό το πρόβλημα σε αυτό το διάστημα: αφού συν(180° − ω) = −συνω, μια γωνία και η παραπληρωματική της έχουν πάντα αντίθετο πρόσημο συνημιτόνου (εκτός αν ω = 90°, όπου και τα δύο μηδενίζονται) — άρα μια δοσμένη τιμή του συνx (ή του εφx) αντιστοιχεί σε ακριβώς μία γωνία ανάμεσα σε 0° και 180°.

Συχνό λάθος: να απαντάς «ημx = ημ40°, άρα x = 40°» και τίποτα άλλο. Στο διάστημα 0°–180° υπάρχει και η δεύτερη λύση, x = 180° − 40° = 140°. Το ημίτονο από μόνο του δεν φτάνει για να διαλέξεις ανάμεσα στις δύο· το συνημίτονο ή η εφαπτομένη θα σου έδιναν αμέσως τη μία, μοναδική γωνία.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: αν 0° ≤ x ≤ 180° και συνx = −συν35°, ποια είναι η γωνία x — μία τιμή ή δύο;

Σε ένα τρίγωνο: ημΑ = ημ(Β + Γ)

Στο τρίγωνο ΑΒΓ οι τρεις γωνίες έχουν πάντα άθροισμα 180°:

γωνία Α + γωνία Β + γωνία Γ = 180°

Λύνοντας ως προς Β + Γ παίρνεις γωνία Β + γωνία Γ = 180° − γωνία Α — δηλαδή οι γωνίες Α και Β + Γ είναι παραπληρωματικές, όποιο κι αν είναι το τρίγωνο. Άρα ισχύουν αμέσως οι σχέσεις της παραπληρωματικής:

ημΑ = ημ(Β + Γ) και συνΑ = −συν(Β + Γ)

Σκέψου: σε ένα τρίγωνο με γωνία Α = 90°, πόσο είναι το Β + Γ, και τι λέει αυτό για το ημ(Β + Γ);

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής, απάντησε πρώτα στην ερώτηση πρόβλεψης («Το ημ150° είναι:»). Μετά ρύθμισε το «ω =» στο 30° για να το ελέγξεις.
2. Σύρε το σημείο Μ πάνω στο τόξο του μοναδιαίου κύκλου και παρακολούθησε το Μ′ να κινείται συμμετρικά, στο ίδιο ύψος, στην απέναντι πλευρά του άξονα y′y.
3. Ρύθμισε το «ω =» σε 45°, 60° και 90° διαδοχικά, και παρατήρησε στην περιοχή πληροφοριών πώς αλλάζουν (ή δεν αλλάζουν) το ημω, το συνω και το εφω σε σχέση με τη γωνία 180° − ω.
4. Ρύθμισε το «ω =» στο 90° και παρατήρησε ότι το Μ και το Μ′ ταυτίζονται· εξήγησε γιατί εκεί το εφ90° δεν ορίζεται.
5. Πάτησε N μέχρι να επιλεγεί το σημείο Μ′, και μετακίνησέ το με τα βέλη του πληκτρολογίου αντί με το ποντίκι.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Ποια είναι η παραπληρωματική της γωνίας 112°;

   Λύση

   180° − 112° = 68°.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Να χαρακτηρίσεις με (Σ) ή (Λ): α) ημ100° = ημ80° β) συν100° = συν80° γ) εφ165° = −εφ15°

   Λύση

   α) Σ, αφού 100° και 80° είναι παραπληρωματικές και το ημίτονο μένει ίδιο. β) Λ, το συνημίτονο αλλάζει πρόσημο: συν100° = −συν80°. γ) Σ, αφού 165° και 15° είναι παραπληρωματικές και η εφαπτομένη αλλάζει πρόσημο.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Να υπολογίσεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας 135°, χρησιμοποιώντας την παραπληρωματική της.

   Λύση

   Η παραπληρωματική της 135° είναι η 45°. ημ135° = ημ45° = √2 διά 2, συν135° = −συν45° = −√2 διά 2, εφ135° = −εφ45° = −1.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Να υπολογίσεις την τιμή της παράστασης Κ = ημ130° − ημ50° + συν150° + συν30°.

   Λύση

   Οι 130° και 50° είναι παραπληρωματικές, άρα ημ130° = ημ50°, οπότε ημ130° − ημ50° = 0. Οι 150° και 30° είναι παραπληρωματικές, άρα συν150° = −συν30°, οπότε συν150° + συν30° = 0. Άρα Κ = 0 + 0 = 0.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ένας μαθητής είδε ότι ημx = ημ25° με 0° ≤ x ≤ 180° και απάντησε «x = 25°». Βρες όλες τις τιμές του x και εξήγησε τι παρέλειψε ο μαθητής. Θα άλλαζε κάτι αν η άσκηση έδινε συνx = συν25° αντί για το ημίτονο;

   Λύση

   Στο διάστημα 0°–180° το ημίτονο δεν είναι μοναδικό ανά γωνία: x = 25° ή x = 180° − 25° = 155°. Ο μαθητής παρέλειψε τη δεύτερη, παραπληρωματική λύση. Με συνx = συν25° δεν θα υπήρχε αυτό το πρόβλημα: το συνημίτονο παίρνει κάθε τιμή του μία μόνο φορά από 0° έως 180°, άρα η μοναδική λύση θα ήταν x = 25°.