Εφαρμογές Μαθηματικών · Γεωμετρία · Κεφ. 2 · §2.4

Νόμος των ημιτόνων

Θεωρία

Η ονομασία των πλευρών: η α απέναντι από το Α

Σε τρίγωνο ΑΒΓ κάθε πλευρά παίρνει το μικρό γράμμα της γωνίας που βρίσκεται απέναντί της: η πλευρά ΒΓ λέγεται α (απέναντι από τη γωνία Α), η ΑΓ λέγεται β (απέναντι από τη Β) και η ΑΒ λέγεται γ (απέναντι από τη Γ). Στην εφαρμογή, στο «Σύρε το τρίγωνο», κάθε πλευρά έχει το ίδιο χρώμα με την απέναντι γωνία της — έτσι βλέπεις αμέσως ποια πλευρά πάει με ποια γωνία.

Γρήγορος έλεγχος: ποια πλευρά είναι η ΑΓ, και απέναντι από ποια γωνία βρίσκεται;

Ο νόμος των ημιτόνων

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, κάθε πλευρά διαιρεμένη με το ημίτονο της απέναντι γωνίας της δίνει τον ίδιο αριθμό:

α διά ημΑ = β διά ημΒ = γ διά ημΓ

Αν ξέρεις μία πλευρά και την απέναντι γωνία της, μαζί με ένα ακόμη στοιχείο (άλλη πλευρά ή άλλη γωνία), μπορείς να βρεις όλα τα υπόλοιπα στοιχεία του τριγώνου.

Γιατί ισχύει: η απόδειξη με ένα ύψος

Πάρε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και φέρε το ύψος από τη Γ, με πόδι το σημείο Δ πάνω στην ΑΒ. Το ύψος ΓΔ χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ορθογώνια τρίγωνα, ΑΔΓ και ΒΔΓ.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ, το ΓΔ είναι απέναντι στη γωνία Α και η υποτείνουσα είναι β:

ημΑ = ΓΔ διά β άρα ΓΔ = β· ημΑ

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΔΓ, το ίδιο ΓΔ είναι απέναντι στη γωνία Β και η υποτείνουσα είναι α:

ημΒ = ΓΔ διά α άρα ΓΔ = α· ημΒ

Το ΓΔ είναι το ίδιο ύψος και στις δύο ισότητες, άρα β· ημΑ = α· ημΒ, δηλαδή α διά ημΑ = β διά ημΒ. Φέρνοντας ένα δεύτερο ύψος, π.χ. από την Α, με τον ίδιο τρόπο προκύπτει και β διά ημΒ = γ διά ημΓ.

Αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο, το πόδι ενός ύψους μπορεί να πέσει έξω από την απέναντι πλευρά, στην προέκτασή της. Το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται έχει τότε ως γωνία την παραπληρωματική της αμβλείας γωνίας του ΑΒΓ, όχι την ίδια τη γωνία. Επειδή όμως ημ(180° − ω) = ημω (§2.2), το ημίτονο βγαίνει το ίδιο είτε δουλέψεις με τη γωνία είτε με την παραπληρωματική της — οπότε η ίδια εξίσωση ισχύει και εκεί. Γι' αυτό ο νόμος ισχύει σε κάθε τρίγωνο, οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: αν μια γωνία ω είναι αμβλεία, πώς συνδέεται το ημω με το ημίτονο της παραπληρωματικής της γωνίας 180° − ω;

Η μεγαλύτερη πλευρά απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία

Ο νόμος των ημιτόνων εξηγεί κάτι που ίσως ήδη υποψιάζεσαι: σε κάθε τρίγωνο, η μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία, και η μικρότερη πλευρά απέναντι από τη μικρότερη γωνία. Για δύο οξείες γωνίες αυτό φαίνεται αμέσως: όσο μεγαλώνει μια γωνία από 0° έως 90°, το ημίτονό της μεγαλώνει κι αυτό — άρα μεγαλύτερη γωνία σημαίνει μεγαλύτερο ημίτονο, και επειδή η πλευρά είναι το ημίτονο επί τον ίδιο σταθερό αριθμό, σημαίνει και μεγαλύτερη πλευρά. Αν η μεγαλύτερη γωνία ενός τριγώνου είναι αμβλεία, ισχύει το ίδιο συμπέρασμα, μέσω της παραπληρωματικής της (§2.2) — απλώς δεν χρειάζεται να το αποδείξεις κάθε φορά, το κρατάς ως κανόνα.

Πρόβλεψε: στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής, ποια γωνία έχει απέναντί της τη μεγαλύτερη πλευρά; Σύρε μια κορυφή και δες αν επιβεβαιώνεται.

Λύνω ένα τρίγωνο με δύο γωνίες και μία πλευρά

«Λύνω ένα τρίγωνο» σημαίνει: βρίσκω όλες τις πλευρές και όλες τις γωνίες του. Αν ξέρεις δύο γωνίες και μία πλευρά, υπάρχουν δύο περιπτώσεις: η πλευρά να είναι ανάμεσα στις δύο γωνίες (τύπος ΓΠΓ, Γωνία–Πλευρά–Γωνία) ή να μην είναι ανάμεσά τους (τύπος ΓΓΠ, Γωνία–Γωνία–Πλευρά). Και στις δύο περιπτώσεις η μέθοδος είναι ίδια:

1. Βρίσκεις την τρίτη γωνία, αφαιρώντας τις άλλες δύο από 180°.
2. Εφαρμόζεις τον νόμο των ημιτόνων για να βρεις τις άλλες δύο πλευρές, μία-μία.

Λύνω ένα τρίγωνο με δύο πλευρές και τη γωνία απέναντι σε μία τους — η ασαφής περίπτωση

Στον τύπο ΠΠΓ (Πλευρά–Πλευρά–Γωνία) ξέρεις δύο πλευρές, π.χ. α και β, και τη γωνία Α, απέναντι στη μία από αυτές. Εδώ κάτι διαφορετικό μπορεί να συμβεί: ανάλογα με τους αριθμούς, μπορεί να υπάρχουν κανένα, ένα ή δύο τρίγωνα με αυτά τα δεδομένα. Η διαδικασία:

1. Βρίσκεις το ημΒ από τον νόμο των ημιτόνων: ημΒ = β · ημΑ διά α.
2. Αν ημΒ > 1, δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο — το ημίτονο μιας γωνίας δεν ξεπερνά ποτέ το 1.
3. Αλλιώς υπάρχουν δύο γωνίες με αυτό το ημίτονο (§2.2): μία οξεία Β₁ (τη δίνει η αριθμομηχανή, με το πλήκτρο sin⁻¹), και η παραπληρωματική της, Β₂ = 180° − Β₁.
4. Ελέγχεις ποιες χωράνε σε τρίγωνο μαζί με τη γωνία Α, δηλαδή Α + Β < 180°. Η Β₁ χωράει πάντα (αφού είναι μικρότερη). Αν χωράει και η Β₂, έχεις δύο τρίγωνα· αν όχι, μόνο ένα.
5. Για κάθε γωνία Β που χωράει, βρίσκεις γωνία Γ = 180° − Α − Β και μετά την πλευρά γ από τον νόμο των ημιτόνων.

Συχνό λάθος: να κρατάς μόνο τη γωνία Β₁ που δίνει η αριθμομηχανή και να ξεχνάς να ελέγξεις την παραπληρωματική της Β₂. Όποτε τα δεδομένα είναι δύο πλευρές και μια γωνία απέναντι σε μία τους (ΠΠΓ), έλεγξε πάντα και τις δύο πιθανές γωνίες πριν αποφασίσεις πόσα τρίγωνα υπάρχουν.

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής, απάντησε στην ερώτηση πρόβλεψης για τη μεγαλύτερη πλευρά. Μετά σύρε μια κορυφή στο «Σύρε το τρίγωνο» και έλεγξε αν επιβεβαιώνεται.
2. Στο «Σύρε το τρίγωνο», σύρε μια κορυφή και παρακολούθησε τις τρεις έγχρωμες μπάρες στην περιοχή πληροφοριών να μένουν πάντα ίσου μήκους — αυτοί είναι οι τρεις ίσοι λόγοι του νόμου. Πρόσεξε ότι κάθε πλευρά έχει το χρώμα της απέναντι γωνίας της.
3. Πάτησε N για να επιλέξεις μια κορυφή, και μετακίνησέ την με τα βέλη του πληκτρολογίου αντί με το ποντίκι (η κορυφή κινείται πάνω σε πλέγμα μισής μονάδας).
4. Πέρασε στο «Επίλυσε» και πάτα «Νέα άσκηση» μέχρι να πάρεις μια άσκηση με δύο πλευρές και γωνία (τύπου ΠΠΓ). Πάτα «Επόμενο βήμα» και παρατήρησε την ημιευθεία ΑΒ και τον κύκλο με κέντρο Γ και ακτίνα α — μέτρησε σε πόσα σημεία τέμνει την ημιευθεία.
5. Στην ίδια άσκηση, πάτα «Όλα τα βήματα» για να δεις και τα δύο τρίγωνα μαζί, αν υπάρχουν δύο. Μετά πάτα «Από την αρχή» και ξαναδοκίμασε με «Νέα άσκηση».

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Σε τρίγωνο ΑΒΓ, ποια πλευρά βρίσκεται απέναντι από τη γωνία Β;

   Λύση

   Η πλευρά β (δηλαδή η ΑΓ) — κάθε πλευρά παίρνει το μικρό γράμμα της απέναντι γωνίας της.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Να χαρακτηρίσεις με (Σ) ή (Λ): α) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α διά ημΑ = β διά ημΒ. β) Η μεγαλύτερη γωνία έχει απέναντί της τη μικρότερη πλευρά. γ) Αν ξέρεις δύο γωνίες ενός τριγώνου, βρίσκεις την τρίτη χωρίς τον νόμο των ημιτόνων.

   Λύση

   α) Σ, αυτός είναι ο νόμος των ημιτόνων. β) Λ, ισχύει το αντίθετο: η μεγαλύτερη γωνία έχει απέναντί της τη μεγαλύτερη πλευρά. γ) Σ, αρκεί το άθροισμα των γωνιών τριγώνου να είναι 180°.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι γωνία Β = 35°, γωνία Γ = 85° και α = 14. Να υπολογίσεις τη γωνία Α και τις πλευρές β, γ (στρογγύλεψε στα 2 δεκαδικά).

   Λύση

   γωνία Α = 180° − 35° − 85° = 60°. Από τον νόμο των ημιτόνων, β ≈ 9,27 και γ ≈ 16,10.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι α = 6, β = 10 και γωνία Α = 25°. Χωρίς να λύσεις όλο το τρίγωνο, να βρεις πόσα τρίγωνα υπάρχουν με αυτά τα δεδομένα.

   Λύση

   ημΒ = 10 · ημ25° διά 6 ≈ 0,70, άρα Β₁ ≈ 44,78° ή Β₂ ≈ 135,22°. Έλεγχος: 25° + 135,22° = 160,22° < 180° — χωράει κι αυτή. Άρα υπάρχουν δύο τρίγωνα.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Δύο φίλοι στέκονται στις δύο όχθες ενός ποταμού, στα σημεία Α και Β, με γ = ΑΒ = 40 m. Βλέπουν και οι δύο ένα δέντρο Γ στην απέναντι όχθη, με γωνία Α = 72° και γωνία Β = 65°. Να υπολογίσεις τις αποστάσεις ΒΓ και ΑΓ από το δέντρο (στρογγύλεψε στα 2 δεκαδικά).

   Λύση

   γωνία Γ = 180° − 72° − 65° = 43°. Από τον νόμο των ημιτόνων με κοινό λόγο γ διά ημΓ: ΒΓ = α ≈ 55,78 m και ΑΓ = β ≈ 53,16 m.

6. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι α = 7, β = 10 και γωνία Α = 40°. Ένας μαθητής υπολόγισε ημΒ ≈ 0,92 και απάντησε «Β ≈ 66,67°» χωρίς άλλον έλεγχο. Πόσα τρίγωνα υπάρχουν στην πραγματικότητα, και τι παρέλειψε ο μαθητής;

   Λύση

   Η παραπληρωματική είναι Β₂ = 180° − 66,67° = 113,33°. Έλεγχος: 40° + 113,33° = 153,33° < 180° — χωράει. Άρα υπάρχουν δύο τρίγωνα, με Β ≈ 66,67° ή Β ≈ 113,33°. Ο μαθητής παρέλειψε να ελέγξει την παραπληρωματική γωνία.