Εφαρμογές Μαθηματικών · Γεωμετρία · Κεφ. 1 · §1.5

Ομοιότητα

Θεωρία

Τι είναι δύο όμοια τρίγωνα

Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α′Β′Γ′ είναι όμοια όταν οι αντίστοιχες γωνίες τους είναι ίσες και οι αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες, με τον ίδιο λόγο και για τις τρεις:

γωνία Α = γωνία Α′,  γωνία Β = γωνία Β′,  γωνία Γ = γωνία Γ′

Α′Β′ διά ΑΒ = Β′Γ′ διά ΒΓ = Α′Γ′ διά ΑΓ = λ

Το Α αντιστοιχεί στο Α′, το Β στο Β′, το Γ στο Γ′ — με αυτή τη σειρά ταιριάζουν και οι πλευρές τους. Ο αριθμός λ λέγεται λόγος ομοιότητας: κάθε πλευρά του Α′Β′Γ′ είναι λ φορές η αντίστοιχή της στο ΑΒΓ. Στην εφαρμογή, στο «Δύο ίσες γωνίες» αυτό ρυθμίζεται με το ρυθμιστικό «λ =».

Πρόβλεψε: αν λ = 1, τι σχέση έχουν οι πλευρές του Α′Β′Γ′ με του ΑΒΓ;

Γρήγορος έλεγχος: αν λ = 0,5, οι πλευρές του Α′Β′Γ′ θα είναι μεγαλύτερες ή μικρότερες από του ΑΒΓ;

Το κριτήριο: αρκούν δύο ίσες γωνίες

Για να δεις ότι δύο τρίγωνα είναι όμοια δεν χρειάζεται να ελέγξεις και τις τρεις γωνίες: αρκούν οι δύο. Η τρίτη βγαίνει αυτόματα ίση, γιατί το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι πάντα 180°:

γωνία Α = 180° − γωνία Β − γωνία Γ

Αν το Α′Β′Γ′ έχει τις ίδιες γωνίες Β, Γ με το ΑΒΓ, τότε η ίδια αφαίρεση δίνει την ίδια τρίτη γωνία και για τα δύο — άρα γωνία Α = γωνία Α′ χωρίς να το μετρήσεις. Στην εφαρμογή, στο «Δύο ίσες γωνίες» ρυθμίζεις μόνο τα ρυθμιστικά «γωνία Β =» και «γωνία Γ =»: το Α′Β′Γ′ παίρνει αυτόματα τις ίδιες δύο γωνίες, και μαζί τους και την τρίτη.

Σκέψου: αν γωνία Β = 30° και γωνία Γ = 90°, πόσο είναι η γωνία Α;

Πώς ελέγχεις με τις πλευρές

Όταν δεν ξέρεις τις γωνίες αλλά μόνο τις πλευρές, ελέγχεις τους λόγους τους — αλλά πρέπει να ταιριάξεις κάθε πλευρά με τη σωστή αντίστοιχή της:

1. Ταξινόμησε τις πλευρές κάθε τριγώνου από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη.
2. Σχημάτισε τους λόγους: μικρότερη με μικρότερη, μεσαία με μεσαία, μεγαλύτερη με μεγαλύτερη.
3. Αν και οι τρεις λόγοι βγαίνουν ίσοι, τα τρίγωνα είναι όμοια — ο κοινός λόγος είναι το λ. Αν έστω ένας διαφέρει, δεν είναι όμοια.

Στην εφαρμογή, στο «Ποια είναι όμοια;» διαλέγεις με το «Όμοιο με το ΑΒΓ είναι το» ποιο από τα τρίγωνο 1, τρίγωνο 2, τρίγωνο 3 νομίζεις ότι είναι όμοιο με το ΑΒΓ· οι τρεις λόγοι εμφανίζονται στην περιοχή πληροφοριών για να τους ελέγξεις.

Πρόβλεψε: ένα τρίγωνο έχει πλευρές 5, 5, 8 και ένα άλλο 10, 10, 16. Νομίζεις ότι είναι όμοια;

Πού συναντάς όμοια σχήματα

Ένας χάρτης (π.χ. κλίμακα 1:100.000), μια φωτογραφία τυπωμένη σε άλλο μέγεθος, ένα σχέδιο υπό κλίμακα σε ένα τεχνικό σχέδιο: όλα δείχνουν ένα σχήμα «σε άλλο μέγεθος» χωρίς να αλλάζει το σχήμα του — ίδιες γωνίες, ανάλογες αποστάσεις.

Ομοιότητα, Θαλής και ομοιοθεσία

Όταν στο «Ποια είναι όμοια;» διαλέξεις το σωστό τρίγωνο και σύρεις το ρυθμιστικό «Φέρε το πάνω στο ΑΒΓ» στο 100%, το βλέπεις να «προσγειώνεται» πάνω στο ΑΒΓ με κοινή κορυφή το Α. Αυτό δεν είναι τυχαίο: τοποθετώντας το έτσι, ώστε να μοιράζεται την κορυφή Α και να έχει τις πλευρές του πάνω στις ευθείες ΑΒ και ΑΓ, είναι ακριβώς μια ομοιοθεσία με κέντρο το Α και λόγο λ (§1.4). Και μια ομοιοθεσία, όπως είδες εκεί, κρατά τις εικόνες των πλευρών παράλληλες στις αρχικές — αυτό είναι το θεώρημα του Θαλή (§1.3) σε δράση. Γι' αυτό η τρίτη πλευρά του τριγώνου που πέταξε βγαίνει πάντα παράλληλη στη ΒΓ.

Σειρά σου: αν δύο τρίγωνα είναι όμοια με λόγο λ = 1, τι θα δεις όταν το ένα «προσγειωθεί» πάνω στο άλλο με κοινή κορυφή;

Επιπλέον — για αργότερα

Στο §1.6 θα δεις ότι ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων σχημάτων είναι λ², όχι λ.

Συχνό λάθος: να νομίζεις ότι αν προσθέσεις τον ίδιο αριθμό σε κάθε πλευρά, το τρίγωνο μένει όμοιο. Παράδειγμα: τρίγωνο με πλευρές 3, 4, 5, και ένα δεύτερο με πλευρές 5, 6, 7 (κάθε πλευρά κατά 2 μεγαλύτερη). Οι λόγοι όμως δεν είναι ίσοι: 5 διά 3 ≈ 1,67, 6 διά 4 = 1,5, 7 διά 5 = 1,4 — τρεις διαφορετικοί αριθμοί. Η ομοιότητα θέλει πολλαπλασιασμό με τον ίδιο λόγο σε κάθε πλευρά, όχι πρόσθεση του ίδιου αριθμού.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: γιατί η πρόσθεση του ίδιου αριθμού σε κάθε πλευρά δεν δίνει όμοιο τρίγωνο;

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής, απάντησε πρώτα στην ερώτηση πρόβλεψης («Αν μεγαλώσεις ένα τρίγωνο ώστε κάθε πλευρά του να γίνει διπλάσια, τι γίνονται οι γωνίες του;»). Μετά μετακίνησε τα ρυθμιστικά «γωνία Β =» και «γωνία Γ =» και δες τη γωνία Α να προσαρμόζεται μόνη της.
2. Ρύθμισε «γωνία Β =» στο 20° και «γωνία Γ =» στο 80°: το τρίγωνο γίνεται πολύ στενό, αλλά το Α′Β′Γ′ έχει πάντα τις ίδιες ακριβώς γωνίες με το ΑΒΓ.
3. Μετακίνησε το ρυθμιστικό «λ =» στο 0,5 για σμίκρυνση και στο 2 για μεγέθυνση: οι γωνίες δεν αλλάζουν ποτέ, μόνο το μέγεθος.
4. Άλλαξε το «Δείξε» σε «Ποια είναι όμοια;», διάλεξε ένα από τα τρίγωνο 1, τρίγωνο 2, τρίγωνο 3 και διάβασε τους λόγους στην περιοχή πληροφοριών πριν αποφασίσεις αν είναι το σωστό. Πάτησε «Νέα άσκηση» για μια καινούργια.
5. Όταν διαλέξεις το σωστό τρίγωνο, σύρε το ρυθμιστικό «Φέρε το πάνω στο ΑΒΓ» στο 100 % και δες το να προσγειώνεται με κοινή κορυφή το Α και την τρίτη πλευρά του παράλληλη στη ΒΓ.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Τι πρέπει να ισχύει για να είναι όμοια δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α′Β′Γ′;

   Λύση

   Οι αντίστοιχες γωνίες τους να είναι ίσες (γωνία Α = γωνία Α′, γωνία Β = γωνία Β′, γωνία Γ = γωνία Γ′) και οι αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες, με τον ίδιο λόγο λ και για τις τρεις.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Γιατί αρκούν δύο ίσες γωνίες για να είναι όμοια δύο τρίγωνα, χωρίς να ελέγξεις την τρίτη;

   Λύση

   Γιατί το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι πάντα 180°: αν δύο γωνίες είναι ίσες, η τρίτη (180° μείον τις άλλες δύο) βγαίνει αυτόματα ίση κι αυτή.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Δύο τρίγωνα είναι όμοια με λόγο λ = 2,5. Αν ΒΓ = 4, βρες το Β′Γ′.

   Λύση

   Β′Γ′ = 2,5 · 4 = 10.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Τρίγωνο με πλευρές 6, 8, 10 και τρίγωνο με πλευρές 9, 12, 15. Δείξε ότι είναι όμοια και βρες τον λόγο ομοιότητας λ.

   Λύση

   Και οι δύο τριάδες είναι ταξινομημένες. Οι λόγοι: 9 διά 6 = 1,5, 12 διά 8 = 1,5, 15 διά 10 = 1,5. Και οι τρεις ίσοι, άρα όμοια με λ = 1,5.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ένας μαθητής έχει τρίγωνο με πλευρές 4, 5, 6 και τρίγωνο με πλευρές 6, 7, 8 (κάθε πλευρά κατά 2 μεγαλύτερη) και λέει «είναι όμοια, αφού κάθε πλευρά μεγάλωσε με τον ίδιο τρόπο». Έχει δίκιο; Έλεγξε με τους λόγους και εξήγησε το λάθος του, αν υπάρχει.

   Λύση

   Δεν έχει δίκιο. Οι λόγοι: 6 διά 4 = 1,5, 7 διά 5 = 1,4, 8 διά 6 ≈ 1,33 — δεν είναι ίσοι, άρα τα τρίγωνα δεν είναι όμοια. Το λάθος του μαθητή είναι ότι «ο ίδιος τρόπος» σημαίνει πρόσθεση του ίδιου αριθμού (+2) σε κάθε πλευρά, ενώ η ομοιότητα χρειάζεται πολλαπλασιασμό με τον ίδιο λόγο.