Εφαρμογές Μαθηματικών · Άλγεβρα · Κεφ. 2 · §2.3

Προβλήματα με εξισώσεις 2ου βαθμού

Πλήρης οθόνη

Με απλά λόγια

Ένα πρόβλημα με λόγια δεν έχει x πουθενά. Εσύ το βάζεις: ονομάζεις x κάτι που δεν ξέρεις (ένα μήκος, έναν αριθμό, μια ηλικία) και μεταφράζεις την εκφώνηση σε μια εξίσωση. Αν η εξίσωση βγει 2ου βαθμού, έχει συνήθως δύο ρίζες.

Εδώ είναι η παγίδα: η εξίσωση δεν ξέρει τίποτα για το πρόβλημα. Λύνει μαθηματικά και σου δίνει ό,τι ρίζες βγουν, ακόμα κι αν μία από αυτές είναι αρνητικό μήκος ή κλάσμα εκεί που το πρόβλημα θέλει ακέραιο. Δική σου δουλειά είναι να ξαναδιαβάσεις την εκφώνηση και να κρατήσεις μόνο ό,τι βγάζει νόημα.

Κάτι που τώρα ξέρεις, ενώ οι περισσότεροι ενήλικες δεν το ξέρουν: μια εξίσωση 2ου βαθμού μπορεί να έχει δύο σωστές μαθηματικά ρίζες, ενώ το πρόβλημα να έχει μόνο μία απάντηση — ή, όπως θα δεις παρακάτω, και τις δύο μαζί, αν και οι δύο ταιριάζουν. Ο έλεγχος στο τέλος δεν είναι τυπικότητα· είναι μέρος της λύσης, όχι λιγότερο σημαντικός από τον τύπο της διακρίνουσας.

Θεωρία

Το πρόβλημα σε βήματα

Κάθε πρόβλημα με εξίσωση 2ου βαθμού λύνεται με την ίδια σειρά βημάτων, όποιο κι αν είναι το θέμα του:

  1. Διαβάζεις την εκφώνηση, αν χρειάζεται δύο φορές, και κάνεις ένα πρόχειρο σχήμα.
  2. Διαλέγεις τι θα είναι το x και γράφεις καθαρά τι σημαίνει, με τη μονάδα του (π.χ. «x = το πλάτος σε m»).
  3. Γράφεις τα υπόλοιπα μεγέθη του προβλήματος συναρτήσει του x.
  4. Βρίσκεις ένα γεγονός της εκφώνησης που δεν έχεις χρησιμοποιήσει ακόμα και το μετατρέπεις σε εξίσωση.
  5. Φέρνεις την εξίσωση στη μορφή αx² + βx + γ = 0 και τη λύνεις.
  6. Ελέγχεις κάθε ρίζα πάνω στο πρόβλημα, όχι μόνο μαθηματικά: πρόσημο, ακέραιος ή όχι, λογικό εύρος τιμών.
  7. Απαντάς με πρόταση, στα λόγια του προβλήματος, με τη μονάδα της.

Συχνό λάθος: γράφω «έστω x ο αριθμός» χωρίς να πω τι ακριβώς είναι, ή δεν γράφω καθόλου τι σημαίνει το x. Μετά, στη μέση της λύσης, ξεχνάς αν το x ήταν το πλάτος ή το μήκος, και ελέγχεις τη λάθος ρίζα. Το βήμα 2 δεν είναι διακοσμητικό: γράφεις πάντα «x = …» με λόγια, πριν προχωρήσεις.

Συχνό λάθος: γράφω μια εξίσωση που χρησιμοποιεί το ίδιο δεδομένο δύο φορές (π.χ. και τις δύο πλευρές ενός ορθογωνίου από το ίδιο άθροισμα), οπότε η εξίσωση βγαίνει λάθος ή ταυτότητα. Κάθε εξίσωση προέρχεται από ένα γεγονός που δεν έχεις ήδη χρησιμοποιήσει στο βήμα 3· τα υπόλοιπα γεγονότα τα έχεις ήδη «χρησιμοποιήσει» γράφοντας τα άλλα μεγέθη συναρτήσει του x.

Σκέψου: σε ένα πρόβλημα το x παριστάνει πλήθος μαθητών. Βρίσκεις ρίζες x = 6 και x = −2,5. Χωρίς να λύσεις τίποτα, ποια ρίζα σίγουρα απορρίπτεται, και γιατί ίσως χρειάζεται να ελέγξεις και την άλλη;

Απάντηση

Η −2,5 απορρίπτεται σίγουρα: το πλήθος μαθητών δεν είναι αρνητικό, ούτε δεκαδικό. Το 6 φαίνεται λογικό, αλλά πρέπει ακόμα να το αντικαταστήσεις στην αρχική εκφώνηση (όχι μόνο στην εξίσωση) για να βεβαιωθείς ότι ταιριάζει σε όλες τις συνθήκες του προβλήματος.

Παράδειγμα με αριθμό

Όταν το πρόβλημα μιλάει για έναν αριθμό, το x παριστάνει απευθείας τον αριθμό αυτό.

Λυμένο παράδειγμα 1

Δεδομένα
Το τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού, μείον τον διπλάσιό του, ισούται με 15.
Ζητούμενο
Ποιος είναι ο αριθμός;
Τύπος
x = ο ζητούμενος φυσικός αριθμός. «Τετράγωνο μείον διπλάσιο ίσο με 15» γίνεται x² − 2x = 15.
Υπολογισμός

Στη μορφή αx² + βx + γ = 0: x² − 2x − 15 = 0, με α = 1, β = −2, γ = −15.

Διακρίνουσα: Δ = (−2)² − 4 · 1 · (−15) = 4 + 60 = 64. Είναι Δ > 0, άρα δύο ρίζες, και √Δ = 8.

x = 2 ± 8 διά 2 ⇒ x1 = 5 και x2 = −5.

Απάντηση
Το x είναι φυσικός αριθμός, άρα η ρίζα x = −5 απορρίπτεται. Ο ζητούμενος αριθμός είναι 5. Έλεγχος: 5² − 2 · 5 = 25 − 10 = 15.

Συχνό λάθος: λύνω την εξίσωση, βρίσκω x = 5, και σταματάω εκεί. Το «x = 5» είναι η λύση της εξίσωσης, όχι ακόμα η απάντηση στο πρόβλημα. Αν το πρόβλημα ρωτούσε για το μήκος ενός ορθογωνίου και x ήταν το πλάτος, η απάντηση θέλει ακόμα ένα βήμα: υπολογισμός του μήκους από το x, και μια πρόταση με τη μονάδα.

Παράδειγμα με σχήμα

Σε προβλήματα με σχήματα, οι πλευρές γράφονται συναρτήσει του x και η εξίσωση προκύπτει συνήθως από ένα εμβαδόν, μια περίμετρο ή το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Λυμένο παράδειγμα 2

Δεδομένα
Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο 20 cm και εμβαδόν 24 cm².
Ζητούμενο
Οι διαστάσεις του ορθογωνίου.
Τύπος
x = η μία πλευρά σε cm. Οι δύο πλευρές μαζί κάνουν 20 : 2 = 10, άρα η άλλη είναι 10 − x. Το εμβαδόν δίνει x(10 − x) = 24.
Υπολογισμός

Ανοίγοντας την παρένθεση και φέρνοντας στη μορφή αx² + βx + γ = 0: 10x − x² = 24 ⇒ x² − 10x + 24 = 0.

Διακρίνουσα: Δ = (−10)² − 4 · 1 · 24 = 100 − 96 = 4, οπότε √Δ = 2.

Συμπλήρωσε: αντικατέστησε στον τύπο x = 10 ± 2 διά 2 και βρες τις δύο ρίζες· μετά έλεγξε αν και οι δύο είναι θετικές.

Απάντηση
Δες παρακάτω, αφού το λύσεις.
Απάντηση

x1 = 6 και x2 = 4. Και οι δύο είναι θετικές, άρα και οι δύο κρατιούνται: οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι 4 cm και 6 cm — δεν είναι δύο διαφορετικά ορθογώνια, είναι το ίδιο, μία φορά με x = το μικρό μήκος και μία με x = το μεγάλο. Έλεγχος: 4 + 6 = 10 (μισή περίμετρος 10 cm) και 4 · 6 = 24 cm².

Ο έλεγχος κάθε ρίζας

Δύο ρίζες δεν σημαίνει πάντα δύο απαντήσεις, ούτε πάντα μία. Στο Λυμένο παράδειγμα 2 και οι δύο ρίζες ταίριαζαν. Πιο συχνά, μία ρίζα βγαίνει αρνητική εκεί που το πρόβλημα θέλει μήκος, εμβαδόν ή πλήθος, και απορρίπτεται.

Συχνό λάθος: κρατάω μια αρνητική ρίζα ως μήκος, γιατί «αφού βγήκε από τη σωστή εξίσωση, θα είναι σωστή». Η εξίσωση είναι σωστή, αλλά ένα μήκος, ένα εμβαδόν, μια περίμετρος δεν είναι ποτέ αρνητικά· αυτό δεν είναι κανόνας άλγεβρας, είναι κανόνας του πραγματικού κόσμου, και τον ελέγχεις εσύ, διαβάζοντας ξανά τι παριστάνει το x.

Γρήγορος έλεγχος: σε ένα πρόβλημα, το x παριστάνει το πλάτος ενός οικοπέδου. Βρήκες ρίζες −8 και 5. Ποια κρατάς, και τι θα έγραφες σαν τελική απάντηση;

Απάντηση

Κρατάς το 5 (πλάτος 5 m ή όποια μονάδα δίνει το πρόβλημα)· το −8 απορρίπτεται, γιατί ένα πλάτος δεν είναι αρνητικό. Η απάντηση γράφεται με πρόταση: «Το πλάτος του οικοπέδου είναι 5 …», όχι μόνο «x = 5».

Δοκίμασε μόνος/-η σου

Σε προβλήματα με ορθογώνιο τρίγωνο, η εξίσωση προκύπτει συνήθως από το Πυθαγόρειο θεώρημα· σε προβλήματα εμβαδού τριγώνου, από τον τύπο του εμβαδού.

Λυμένο παράδειγμα 3

Δεδομένα
Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει εμβαδόν 24 cm². Η μία κάθετη πλευρά είναι κατά 2 cm μεγαλύτερη από την άλλη.
Ζητούμενο
Οι δύο κάθετες πλευρές του τριγώνου.
Τύπος
x = η μικρότερη κάθετη πλευρά σε cm, οπότε η άλλη είναι x + 2. Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου: Ε = (κάθετη)1 · (κάθετη)2 διά 2, άρα x(x + 2) διά 2 = 24.
Υπολογισμός

Λύσε το μόνος/-η σου: πολλαπλασίασε και τα δύο μέλη με 2, φέρε την εξίσωση στη μορφή αx² + βx + γ = 0, βρες τη διακρίνουσα και τις ρίζες, και έλεγξέ τες.

Απάντηση
Δες παρακάτω, αφού το λύσεις.
Λύση

x(x + 2) = 48 ⇒ x² + 2x − 48 = 0. Διακρίνουσα Δ = 2² − 4 · 1 · (−48) = 4 + 192 = 196, √Δ = 14. x = −2 ± 14 διά 2 ⇒ x1 = 6, x2 = −8. Η −8 απορρίπτεται (πλευρά αρνητική). Οι κάθετες πλευρές είναι 6 cm και 8 cm. Έλεγχος: 6 · 8 διά 2 = 24 cm².

Δραστηριότητες

  1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής (Πρόβλημα «Ορθογώνιο: μήκος και εμβαδόν»), διάβασε πρώτα την ερώτηση πρόβλεψης πάνω και απάντησε χωρίς να υπολογίσεις. Μετά μετακίνησε το «Δοκίμασε x» ανά 0,5 και βρες την τιμή όπου η γραμμή ελέγχου δείχνει ότι ταιριάζει. Πάτα «Επόμενο βήμα» μέχρι το τέλος και σύγκρινε με την πρόβλεψή σου.
  2. Επίλεξε Πρόβλημα «Ορθογώνιο: περίμετρος και εμβαδόν». Δοκιμάζοντας μόνο με το ρυθμιστικό, βρες δύο διαφορετικές τιμές του x όπου η γραμμή ελέγχου ταιριάζει. Πάτα «Όλα τα βήματα» και διάβασε γιατί εδώ κρατιούνται και οι δύο ρίζες.
  3. Επίλεξε Πρόβλημα «Ορθογώνιο τρίγωνο: διαδοχικοί αριθμοί». Παρατήρησε το διακεκομμένο τόξο ενώ κινείς το «Δοκίμασε x»: βρες με δοκιμή πού αγγίζει ακριβώς την απέναντι γωνία. Μετά πάτα «Επόμενο βήμα» ένα-ένα και δες αν η τιμή που βρήκες ταιριάζει με τη ρίζα.
  4. Επίλεξε Πρόβλημα «Κήπος με διάδρομο». Πριν πατήσεις οτιδήποτε, πρόβλεψε: η αρνητική ρίζα της εξίσωσης θα ταιριάζει στο πρόβλημα ή θα απορριφθεί, και γιατί; Πάτα «Όλα τα βήματα» και έλεγξε την πρόβλεψή σου στην τελευταία γραμμή πληροφοριών.
  5. Διάλεξε ένα οποιοδήποτε από τα τέσσερα προβλήματα, πάτα «Από την αρχή» και μετά «Επόμενο βήμα» ένα-ένα. Πριν αποκαλύψεις κάθε επόμενο βήμα, πες με δικά σου λόγια τι θα γράφει: ποιο από τα επτά βήματα της λύσης είναι.

Ασκήσεις

  1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Σε ένα πρόβλημα, το x παριστάνει το πλάτος ενός ορθογωνίου. Λύνοντας την εξίσωση βρήκες ρίζες x1 = −4 και x2 = 7. Ποια ρίζα κρατάς, και γιατί απορρίπτεται η άλλη;

    Λύση

    Κρατάς x = 7. Η ρίζα −4 απορρίπτεται, γιατί ένα πλάτος δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

  2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Σε ένα πρόβλημα, το x παριστάνει πλήθος μπλουζών. Λύνοντας την εξίσωση βρήκες ρίζες x1 = 3,5 και x2 = −2. Ταιριάζει καμία λύση στο πρόβλημα; Εξήγησε.

    Λύση

    Καμία από τις δύο δεν ταιριάζει. Η −2 απορρίπτεται γιατί το πλήθος δεν είναι αρνητικό, και η 3,5 απορρίπτεται γιατί το πλήθος μπλουζών είναι πάντα ακέραιος αριθμός. (Αυτό θα σήμαινε ότι κάπου στην εκφώνηση ή στην εξίσωση υπάρχει λάθος, ή ότι το πρόβλημα δεν έχει λύση με τα δεδομένα του.)

  3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Το τετράγωνο ενός θετικού ακέραιου αριθμού, αυξημένο κατά τον ίδιο τον αριθμό, ισούται με 42. Βρες τον αριθμό.

    Λύση

    x = ο ζητούμενος αριθμός: x² + x = 42 ⇒ x² + x − 42 = 0. Διακρίνουσα Δ = 1² − 4 · 1 · (−42) = 1 + 168 = 169, √Δ = 13. Ρίζες x1 = 6, x2 = −7. Απορρίπτεται η −7 (θετικός ακέραιος ζητείται). Ο αριθμός είναι 6. Έλεγχος: 6² + 6 = 42.

  4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ένα ορθογώνιο οικόπεδο έχει μήκος 5 m μεγαλύτερο από το πλάτος του και εμβαδόν 84 m². Βρες τις διαστάσεις του.

    Λύση

    x = το πλάτος σε m, μήκος x + 5: x(x + 5) = 84 ⇒ x² + 5x − 84 = 0. Διακρίνουσα Δ = 25 + 336 = 361, √Δ = 19. Ρίζες x1 = 7, x2 = −12. Απορρίπτεται η −12. Πλάτος 7 m, μήκος 12 m. Έλεγχος: 7 · 12 = 84.

  5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Δύο μαθητές έλυσαν το ίδιο πρόβλημα: «ορθογώνιο με μήκος κατά 6 m μεγαλύτερο από το πλάτος και εμβαδόν 91 m²» και βρήκαν ρίζες 7 και −13. Ο ένας έγραψε «πλάτος 7 m» σαν τελική απάντηση. Ο άλλος έγραψε «η εξίσωση έχει δύο ρίζες, άρα υπάρχουν δύο διαφορετικά ορθογώνια». Ποιος έχει δίκιο, και τι λείπει από κάθε απάντηση;

    Λύση

    Ο δεύτερος κάνει λάθος: δύο μαθηματικές ρίζες δεν σημαίνουν δύο αποδεκτές λύσεις· εδώ η −13 απορρίπτεται, γιατί ένα πλάτος δεν είναι αρνητικό, οπότε υπάρχει μόνο ένα ορθογώνιο. Ο πρώτος είναι στη σωστή κατεύθυνση, αλλά η απάντησή του είναι ημιτελής: λέει μόνο το πλάτος, ενώ το πρόβλημα ζητά τις διαστάσεις — λείπει το μήκος (7 + 6 = 13 m) και μια πλήρης πρόταση με μονάδες.

Τι πρέπει να θυμάσαι

  • Διαλέγεις το x και γράφεις καθαρά τι σημαίνει, με τη μονάδα του, πριν γράψεις εξίσωση.
  • Η εξίσωση προκύπτει από ένα γεγονός της εκφώνησης που δεν έχεις ήδη χρησιμοποιήσει.
  • Φέρνεις στη μορφή αx² + βx + γ = 0 και λύνεις με τη διακρίνουσα.
  • Ελέγχεις κάθε ρίζα πάνω στο πρόβλημα: πρόσημο, ακέραιος ή όχι, λογικό εύρος. Μπορεί να κρατηθεί μία ρίζα, και οι δύο, ή καμία.
  • Η απάντηση είναι πρόταση με μονάδες, όχι μόνο «x = …».

Γρήγορος έλεγχος

  1. Γιατί δεν αρκεί να λύσεις την εξίσωση για να απαντήσεις σε ένα πρόβλημα;
    Απάντηση

    Γιατί οι ρίζες της εξίσωσης πρέπει ακόμα να ελεγχθούν πάνω στο πρόβλημα (πρόσημο, ακέραιος, λογικό εύρος) και η απάντηση πρέπει να γραφτεί με πρόταση και μονάδες, όχι μόνο ως τιμή του x.

  2. Ένα πρόβλημα δίνει ρίζες −3 και 9, όπου x είναι μια περίμετρος. Ποια κρατάς;
    Απάντηση

    Το 9· η −3 απορρίπτεται, γιατί μια περίμετρος δεν είναι αρνητική.

  3. Μπορεί ένα πρόβλημα να έχει δύο σωστές απαντήσεις από τις δύο ρίζες της ίδιας εξίσωσης;
    Απάντηση

    Ναι· αν και οι δύο ρίζες ταιριάζουν στο πρόβλημα (π.χ. είναι οι δύο πλευρές του ίδιου ορθογωνίου, μία με κάθε ρίζα), κρατιούνται και οι δύο.

Ένα πρόβλημα για σένα

Το γινόμενο δύο διαδοχικών άρτιων φυσικών αριθμών είναι 168. Ονόμασε τον μικρότερο x, γράψε την εξίσωση, λύσε τη και βρες τους δύο αριθμούς.