Εφαρμογές Μαθηματικών · Άλγεβρα · Κεφ. 2 · §2.2

Εξισώσεις 2ου βαθμού

Θεωρία

Η γενική μορφή

Μια εξίσωση 2ου βαθμού με άγνωστο x έχει τη μορφή:

αx² + βx + γ = 0, με α ≠ 0

Οι αριθμοί α, β, γ λέγονται συντελεστές· το γ λέγεται και σταθερός όρος. Η προϋπόθεση α ≠ 0 είναι απαραίτητη: αν α = 0 δεν μένει καθόλου x², η εξίσωση γίνεται βx + γ = 0, δηλαδή μια εξίσωση 1ου βαθμού όπως στην §2.1 (και η γραφική παράσταση είναι πια ευθεία, όχι καμπύλη). Η εφαρμογή το επιτρέπει: αν βάλεις α = 0, σου το εξηγεί.

Σκέψου: στην εξίσωση 5x² − 3 = 0, ποιοι είναι οι συντελεστές α, β, γ;

Ελλιπής εξίσωση: όταν λείπει ο σταθερός όρος

Όταν γ = 0, κάθε όρος της εξίσωσης έχει κοινό παράγοντα x. Βγάζεις τον κοινό παράγοντα και χρησιμοποιείς την ίδια ιδέα που ξέρεις ήδη από την παραγοντοποίηση: ένα γινόμενο είναι 0 μόνο όταν ένας τουλάχιστον παράγοντάς του είναι 0.

Συχνό λάθος: στην x² − 3x = 0 διαιρώ και τα δύο μέλη με x και μένω με x − 3 = 0, άρα x = 3 μόνο. Η λύση x = 0 χάνεται, γιατί δεν επιτρέπεται να διαιρέσεις και τα δύο μέλη με μια παράσταση που περιέχει το x: δεν ξέρεις εκ των προτέρων αν αυτή η παράσταση είναι 0, κι εδώ ακριβώς είναι. Σωστά βγάζεις κοινό παράγοντα x, δεν διαιρείς με αυτό.

Ελλιπής εξίσωση: όταν λείπει ο μεσαίος όρος

Όταν β = 0, η εξίσωση γράφεται αx² + γ = 0, δηλαδή x² = κ για κάποιον αριθμό κ. Τι λύσεις έχει εξαρτάται από το πρόσημο του κ:

• Αν κ > 0: δύο λύσεις, x = √κ και x = −√κ (δύο αριθμοί, αντίθετοι, με το ίδιο τετράγωνο).
• Αν κ = 0: μία λύση, x = 0.
• Αν κ < 0: καμία λύση — το τετράγωνο ενός πραγματικού αριθμού δεν είναι ποτέ αρνητικό, άρα δεν υπάρχει x με x² = κ.

Συχνό λάθος: στην x² = 9 απαντώ μόνο x = 3, γιατί 3² = 9. Ξεχνιέται ότι και (−3)² = 9. Η εξίσωση x² = κ με κ > 0 έχει πάντα δύο λύσεις, μία θετική και μία αρνητική.

Πρόβλεψε: πόσες λύσεις έχει η x² + 7x = 0, πριν τη λύσεις;

Ο τύπος και η διακρίνουσα

Όταν η εξίσωση έχει και τους τρεις όρους (πλήρης), δεν βγαίνει πάντα κοινός παράγοντας. Υπάρχει όμως ένας τύπος που δίνει τις λύσεις κάθε φορά. Ο αριθμός που αποφασίζει πόσες λύσεις θα βρεις λέγεται διακρίνουσα και συμβολίζεται Δ:

Δ = β² − 4αγ

Αν Δ ≥ 0, οι λύσεις δίνονται από τον τύπο:

x = −β ± √Δ διά 2α

Το σύμβολο ± («συν ή πλην») είναι συντομογραφία για δύο τύπους μαζί: έναν με + √Δ και έναν με − √Δ, δηλαδή δύο τιμές του x. Δεν χρειάζεται να αποδείξεις τον τύπο τώρα (προκύπτει με έναν γενικό αλγεβρικό τρόπο)· τον χρησιμοποιείς όπως χρησιμοποιείς κάθε άλλο έτοιμο τύπο, αφού ξέρεις τι σημαίνει το κάθε γράμμα.

Συχνό λάθος: στο 2x² − 8x + 6 = 0 (β = −8) γράφω Δ = −8² − 4 · 2 · 6 αντί για Δ = (−8)² − 4 · 2 · 6. Χωρίς παρένθεση, −8² υπολογίζεται ως −(8²) = −64, ενώ (−8)² = 64. Όταν το β είναι αρνητικό, το βάζεις πάντα σε παρένθεση πριν το υψώσεις στο τετράγωνο.

Συχνό λάθος: στον τύπο x = −β ± √Δ διά 2α διαιρώ με 2α μόνο το √Δ, π.χ. γράφω x = −β ± √Δ διά 2α. Ολόκληρος ο αριθμητής, −β ± √Δ, διαιρείται με 2α — το κλάσμα έχει έναν παρονομαστή για όλον τον αριθμητή, όχι μόνο για το κομμάτι με τη ρίζα.

Οι τρεις περιπτώσεις της διακρίνουσας

Το πρόσημο της Δ λέει αμέσως πόσες λύσεις έχει η εξίσωση, πριν καν υπολογίσεις τον τύπο — και το βλέπεις στη γραφική παράσταση ως το πόσα σημεία έχει η καμπύλη πάνω στον άξονα x:

• Δ > 0: δύο άνισες λύσεις. Η καμπύλη κόβει τον άξονα x σε δύο σημεία.
• Δ = 0: μία λύση, x = −β διά 2α (και οι δύο τιμές του τύπου συμπίπτουν, αφού √0 = 0). Η καμπύλη αγγίζει τον άξονα x σε ένα μόνο σημείο, χωρίς να περνά στην άλλη πλευρά.
• Δ < 0: καμία λύση — δεν ορίζεται τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού. Η καμπύλη δεν συναντά καθόλου τον άξονα x, μένει πάντα από την ίδια πλευρά.

Συχνό λάθος: νομίζω ότι Δ < 0 σημαίνει «η λύση είναι αρνητικός αριθμός». Δεν είναι έτσι: Δ < 0 σημαίνει ότι δεν υπάρχει καμία πραγματική λύση, ούτε θετική ούτε αρνητική — χρειάζεσαι τη ρίζα ενός αρνητικού αριθμού, που δεν ορίζεται.

Πρόβλεψε: η εξίσωση x² − 4x + 4 = 0 έχει Δ θετική, μηδέν ή αρνητική;

Άρρητες λύσεις

Η Δ δεν είναι πάντα τέλειο τετράγωνο. Τότε η √Δ είναι άρρητος αριθμός, και τις λύσεις τις γράφεις με ρίζα, απλοποιημένη όσο γίνεται (όπως έμαθες στην §1.1).

Παραγοντοποίηση του τριωνύμου με τις ρίζες

Στην §1.6 παραγοντοποιούσες ένα τριώνυμο ψάχνοντας δύο αριθμούς m, n με άθροισμα και γινόμενο ίσα με τους συντελεστές. Τώρα που ξέρεις να βρίσκεις τις ρίζες x₁, x₂ με τον τύπο, έχεις έναν δεύτερο δρόμο για την ίδια παραγοντοποίηση:

αx² + βx + γ = α(x − x₁)(x − x₂)

Στο Λυμένο παράδειγμα 2, οι ρίζες του 2x² + 5x + 3 ήταν x₁ = −1 και x₂ = −3 διά 2, άρα:

2x² + 5x + 3 = 2(x + 1)(x + 3 διά 2)

Αυτό δουλεύει μόνο όταν υπάρχουν πραγματικές ρίζες, δηλαδή όταν Δ ≥ 0. Όταν Δ < 0 (όπως στο x² + x + 1 που είδες στην §1.6), το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται καθόλου με πραγματικούς αριθμούς.

Έλεγχος με αντικατάσταση

Όπως και στις εξισώσεις 1ου βαθμού, ελέγχεις μια λύση αντικαθιστώντας την στην αρχική εξίσωση: υπολογίζεις την τιμή του πρώτου μέλους και κοιτάς αν βγαίνει 0.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης x² − 3x = 0 από το Λυμένο παράδειγμα 1, και πώς τις ελέγχεις;

Επιπλέον — για αργότερα

Στην §2.3 θα δεις προβλήματα με λόγια που καταλήγουν σε εξίσωση 2ου βαθμού (π.χ. εμβαδά). Στο Κεφ. 4 θα μελετήσεις τη γραφική παράσταση y = αx² + βx + γ ως παραβολή, με κορυφή και άξονα συμμετρίας· εδώ τη χρησιμοποιήσαμε μόνο ως εικόνα του «πού μηδενίζεται».

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής (Εξίσωση «2x² + 5x + 3 = 0», Λύση «Με τον τύπο»), διάβασε τη διακρίνουσα και τις δύο λύσεις στις γραμμές πληροφοριών. Κοίταξε τη γραφική παράσταση: σε ποια δύο σημεία η καμπύλη κόβει τον άξονα x, και συμφωνούν με τις λύσεις που διάβασες;
2. Επίλεξε Εξίσωση «x² − 9 = 0» και άλλαξε τη Λύση σε «Με παραγοντοποίηση». Διάβασε τα βήματα μέχρι το «γινόμενο = 0» και τις δύο λύσεις. Ξαναγύρισε σε «Με τον τύπο» και σύγκρινε τη διακρίνουσα και τις λύσεις με αυτά που μόλις είδες.
3. Επίλεξε Εξίσωση «x² − 6x + 9 = 0». Πριν αλλάξεις τίποτα, πρόβλεψε αν η διακρίνουσα θα είναι θετική, μηδέν ή αρνητική. Μετά κοίταξε τη γραφική παράσταση: η καμπύλη κόβει τον άξονα x ή απλώς τον αγγίζει;
4. Απάντησε πρώτα στην ερώτηση πρόβλεψης που εμφανίζεται («Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση x² + 4 = 0;»). Μετά ρύθμισε τα ρυθμιστικά α = 1, β = 0, γ = 4 και έλεγξε αν η καμπύλη συναντά τον άξονα x.
5. Πάτα «Νέο παράδειγμα» πέντε φορές στη σειρά. Για κάθε νέα εξίσωση, πριν κοιτάξεις τις γραμμές πληροφοριών, πρόβλεψε από τη διακρίνουσα αν θα έχει δύο, μία ή καμία λύση, και έλεγξε.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Στην εξίσωση 3x² − 5 = 0, βρες τους συντελεστές α, β, γ. Ποιος όρος λείπει, ο μεσαίος (βx) ή ο σταθερός (γ);

   Λύση

   α = 3, β = 0, γ = −5. Λείπει ο μεσαίος όρος, άρα η εξίσωση είναι ελλιπής τύπου x² = κ.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Χωρίς να λύσεις τις εξισώσεις, πες πόσες λύσεις έχει καθεμιά, υπολογίζοντας μόνο το πρόσημο της διακρίνουσας: x² − 2x + 5 = 0, x² − 2x + 1 = 0, x² − 2x − 5 = 0.

   Λύση

   x² − 2x + 5: Δ = 4 − 20 = −16 < 0, καμία λύση. x² − 2x + 1: Δ = 4 − 4 = 0, μία λύση. x² − 2x − 5: Δ = 4 + 20 = 24 > 0, δύο λύσεις.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Λύσε με παραγοντοποίηση την εξίσωση 3x² − 6x = 0.

   Λύση

   3x(x − 2) = 0, άρα x = 0 ή x = 2. Έλεγχος: 3 · 0 − 0 = 0, 3 · 4 − 12 = 0.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Λύσε με τον τύπο την εξίσωση 3x² − 2x − 1 = 0.

   Λύση

   Δ = (−2)² − 4 · 3 · (−1) = 4 + 12 = 16. x = 2 ± 4 διά 6, δηλαδή x = 1 ή x = −1 διά 3. Έλεγχος με x = 1: 3 − 2 − 1 = 0.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Δίνεται η εξίσωση x² − 6x + κ = 0, όπου κ ένας αριθμός. Για ποια τιμή του κ η εξίσωση έχει διπλή λύση; Ποια είναι αυτή η λύση;

   Λύση

   Διπλή λύση σημαίνει Δ = 0: (−6)² − 4 · 1 · κ = 0, δηλαδή 36 − 4κ = 0, άρα κ = 9. Η λύση είναι x = −−6 διά 2 = 3.