Εφαρμογές Μαθηματικών · Άλγεβρα · Κεφ. 1 · §1.2

Μονώνυμα και αριθμητική τιμή

Θεωρία

Αλγεβρικές παραστάσεις

Θέλεις να στρώσεις με πλακάκια ένα δωμάτιο που αποτελείται από δύο τετράγωνα κομμάτια με πλευρά x και ένα ορθογώνιο κομμάτι x επί y. Πόσο είναι το εμβαδόν; Δεν ξέρεις ακόμη τα μήκη, αλλά μπορείς να γράψεις τη συνταγή:

Ε = 2x² + xy

• Μια έκφραση μόνο με αριθμούς, όπως 2 · 5² + 5 · 8, λέγεται αριθμητική παράσταση.
• Μια έκφραση που έχει και γράμματα (μεταβλητές), όπως 2x² + xy, λέγεται αλγεβρική παράσταση.
• Αν ανάμεσα στις μεταβλητές υπάρχουν μόνο πρόσθεση και πολλαπλασιασμός και οι εκθέτες τους είναι θετικοί ακέραιοι, η παράσταση λέγεται ακέραια. Π.χ. η 3x + 1 διά x δεν είναι ακέραια: έχει διαίρεση με μεταβλητή.

Αριθμητική τιμή

Αν βάλεις αριθμούς στη θέση των μεταβλητών και κάνεις τις πράξεις, το αποτέλεσμα λέγεται αριθμητική τιμή της παράστασης. Στην εφαρμογή, κάθε φορά που αλλάζεις τα μήκη x και y, βλέπεις την αριθμητική τιμή του εμβαδού.

Όταν η τιμή μιας μεταβλητής είναι αρνητική, τη βάζεις σε παρένθεση.

Συχνό λάθος: για x = −2, να γράψεις 3x² = 3 · −2² = −12. Χωρίς παρένθεση υψώνεις στο τετράγωνο μόνο το 2 και κρατάς το μείον. Σωστά: 3 · (−2)² = 3 · 4 = 12. Έλεγχος: ένα τετράγωνο δεν είναι ποτέ αρνητικό, άρα και το 3x² δεν μπορεί να βγει αρνητικό.

Σειρά σου: βρες την τιμή της x² − 3x για x = −1.

Τι είναι μονώνυμο

Ορισμένες ακέραιες παραστάσεις είναι ένα μόνο «κομμάτι»: ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος με μεταβλητές, χωρίς πρόσθεση ή αφαίρεση ανάμεσά τους. Αυτές λέγονται μονώνυμα.

Π.χ. −5x³y είναι μονώνυμο. Το 2x² + xy δεν είναι: είναι δύο μονώνυμα με ένα «+» ανάμεσα.

• Ο αριθμός μπροστά λέγεται συντελεστής: στο −5x³y είναι το −5.
• Οι μεταβλητές με τους εκθέτες τους λέγονται κύριο μέρος: εδώ x³y.
• Όταν δεν φαίνεται αριθμός, ο συντελεστής είναι 1: x²y = 1 · x²y. Όταν φαίνεται μόνο ένα μείον, είναι −1: −ab = (−1) · ab.

Γρήγορος έλεγχος: ποιος είναι ο συντελεστής και ποιο το κύριο μέρος του −xy²;

Βαθμός μονωνύμου

Ο εκθέτης μιας μεταβλητής είναι ο βαθμός του μονωνύμου ως προς αυτή. Αν δεν γράφεται εκθέτης, είναι 1, γιατί y = y¹. Ο βαθμός ως προς όλες τις μεταβλητές είναι το άθροισμα των εκθετών.

Και οι σκέτοι αριθμοί θεωρούνται μονώνυμα, τα σταθερά μονώνυμα. Ο αριθμός 7 είναι μονώνυμο μηδενικού βαθμού, γιατί 7 = 7x⁰. Μόνο το 0, το μηδενικό μονώνυμο, δεν έχει βαθμό.

Ο συντελεστής δεν επηρεάζει τον βαθμό: το 100x είναι πρώτου βαθμού, το 0,1x³ τρίτου.

Όμοια, ίσα και αντίθετα μονώνυμα

Στην εφαρμογή, όλα τα πλακίδια x² έχουν το ίδιο σχήμα. Στην άλγεβρα, μονώνυμα με το ίδιο κύριο μέρος λέγονται όμοια. Π.χ. 3x²y, −x²y και 1 διά 2x²y είναι όμοια.

• Όμοια με τον ίδιο συντελεστή: ίσα, π.χ. 4ab και 4ab.
• Όμοια με αντίθετους συντελεστές: αντίθετα, π.χ. 4ab και −4ab. Το άθροισμά τους είναι 0.

Συχνό λάθος: να θεωρείς όμοια τα x²y και xy², επειδή έχουν τα ίδια γράμματα. Κοίτα και τους εκθέτες: στο πρώτο το x είναι στο τετράγωνο, στο δεύτερο το y. Είναι διαφορετικά κύρια μέρη, άρα όχι όμοια.

Πρόσθεση όμοιων μονωνύμων

Στο «Άθροισμα» βάλε 2 τετράγωνα x² και μετά 5. Ό,τι κι αν είναι το x, πέντε ίδια τετράγωνα έχουν πενταπλάσιο εμβαδόν από ένα. Άρα 2x² + 3x² = 5x².

όμοια μονώνυμα: προσθέτεις τους συντελεστές, κρατάς το κύριο μέρος

Αυτό λέγεται αναγωγή όμοιων όρων. Μη όμοια μονώνυμα δεν γίνονται ένας όρος: το 2x² + xy μένει όπως είναι.

Συχνό λάθος: «3x² + 2x² = 5x⁴». Στην πρόσθεση οι εκθέτες δεν αλλάζουν: μετράς πόσα ίδια κομμάτια έχεις, όπως 3 τετράγωνα + 2 τετράγωνα = 5 τετράγωνα, όχι «τετράγωνα στο τετράγωνο».

Πολλαπλασιασμός μονωνύμων

Στο «Γινόμενο» ένα ορθογώνιο έχει πλευρές 2x και 3y. Χωρίζεται σε 2 · 3 = 6 πλακίδια xy, άρα:

(2x) · (3y) = 2 · 3 · x · y = 6xy

Πολλαπλασιάζεις συντελεστές με συντελεστές και μεταβλητές με μεταβλητές. Για ίδια μεταβλητή προσθέτεις τους εκθέτες, γιατί x² · x³ = (x · x) · (x · x · x) = x⁵.

Πρόβλεψε: αν διπλασιάσεις το x, τι γίνεται το εμβαδόν x² ενός τετραγώνου; Δοκίμασέ το στην εφαρμογή.

Διαίρεση μονωνύμων

Για να διαιρέσεις δύο μονώνυμα, διαιρείς τους συντελεστές και, για κάθε μεταβλητή, αφαιρείς τους εκθέτες:

(12x⁵y²) : (4x²y) = 3x³y

Έλεγχος με πολλαπλασιασμό: 4x²y · 3x³y = 12x⁵y². Το πηλίκο είναι μονώνυμο μόνο όταν κάθε μεταβλητή του διαιρέτη υπάρχει στον διαιρετέο με ίσο ή μεγαλύτερο εκθέτη. Π.χ. το x² : x⁵ δεν δίνει μονώνυμο.

Επιπλέον — για αργότερα

Γιατί η πρόσθεση κρατά τον εκθέτη και ο πολλαπλασιασμός τον αλλάζει; Στην πρόσθεση μετράς πόσα ίδια κομμάτια έχεις: 3 τετράγωνα και 2 τετράγωνα κάνουν 5 τετράγωνα, και το σχήμα δεν αλλάζει.

Στον πολλαπλασιασμό φτιάχνεις κάτι καινούριο: πλευρά επί πλευρά δίνει εμβαδόν, και εμβαδόν επί ύψος δίνει όγκο. Γι’ αυτό x · x = x² είναι τετράγωνο και x² · x = x³ είναι κύβος.

Δραστηριότητες

1. Στο «Άθροισμα» κράτα μόνο 1 τετράγωνο x² και άλλαξε το x από 1 έως 6. Γράψε σε πίνακα το x και την τιμή του x². Πόσες φορές μεγαλώνει η τιμή όταν το x πάει από 2 σε 4, και από 3 σε 6;
2. Φτιάξε το εμβαδόν 2x² + xy και βρες την τιμή του για x = 5, y = 6 πρώτα με το χέρι, μετά στην εφαρμογή.
3. Βάλε 3 τετράγωνα x² και 3 τετράγωνα y². Για ποια x και y έχουν τα δύο σύνολα το ίδιο εμβαδόν; Γιατί ακόμη και τότε το 3x² + 3y² δεν γράφεται ως ένας όρος;
4. Στο «Γινόμενο» βάλε α = 2, β = 3 και άλλαξε τη δεύτερη πλευρά από 3y σε 3x. Τι αλλάζει στα πλακίδια και τι στο αποτέλεσμα;
5. Στο «Γινόμενο» βρες όλα τα ζευγάρια α, β που δίνουν 12 πλακίδια. Γράψε για καθένα το γινόμενο, π.χ. (3x) · (4y) = 12xy.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Ποιες από τις παραστάσεις είναι μονώνυμα; Για όσες είναι, γράψε συντελεστή, κύριο μέρος και βαθμό. (α) −4a²b (β) x + 2 (γ) x³ (δ) 9 (ε) 3 διά x

   Λύση

   (α) Μονώνυμο: συντελεστής −4, κύριο μέρος a²b, βαθμός 3. (β) Όχι, έχει πρόσθεση. (γ) Μονώνυμο: συντελεστής 1, κύριο μέρος x³, βαθμός 3. (δ) Σταθερό μονώνυμο, βαθμού 0. (ε) Όχι, έχει διαίρεση με μεταβλητή, άρα δεν είναι καν ακέραια παράσταση.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Χώρισε σε ομάδες όμοιων μονωνύμων και βρες ένα ζευγάρι αντίθετων: 2xy, −x², 5yx, x², −2xy, 3xy².

   Λύση

   Κύριο μέρος xy: 2xy, 5yx (yx = xy) και −2xy. Κύριο μέρος x²: −x² και x². Το 3xy² μένει μόνο του. Αντίθετα: 2xy και −2xy (και επίσης −x² και x²).

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Βρες την αριθμητική τιμή της −3x²y³ για x = −2 και y = −1.

   Λύση

   −3 · (−2)² · (−1)³ = −3 · 4 · (−1) = 12. Έλεγχος πρόσημου: το (−2)² είναι θετικό, άρα μένουν δύο αρνητικοί παράγοντες (−3 και −1) και το γινόμενο βγαίνει θετικό.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Κάνε τις πράξεις: (α) 7ab − 4ab − ab (β) (−3x²) · (5x) (γ) (4ab²) · (−a²b) (δ) (18x⁴y) : (6xy)

   Λύση

   (α) (7 − 4 − 1)ab = 2ab. (β) −15x³. (γ) −4a³b³. (δ) 3x³, γιατί 18 : 6 = 3, x⁴ : x = x³ και y : y = 1.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ένα ορθογώνιο έχει πλευρές 3x και 2x. Γράψε το εμβαδόν του ως μονώνυμο. Αν όλες οι διαστάσεις του γίνουν τριπλάσιες, πόσες φορές μεγαλώνει το εμβαδόν; Εξήγησε με το μονώνυμο, χωρίς να δοκιμάσεις αριθμούς.

   Λύση

   Ε = 3x · 2x = 6x². Αν το x γίνει 3x, τότε 6 · (3x)² = 6 · 9x² = 54x², δηλαδή 9 φορές μεγαλύτερο. Ο λόγος είναι ο εκθέτης 2: κάθε μία από τις δύο πλευρές τριπλασιάζεται, 3 · 3 = 9.