Εφαρμογές Μαθηματικών · Άλγεβρα · Κεφ. 3 · §3.1

Η γραμμική εξίσωση αx + βy = γ

Θεωρία

Λύση: ένα ζεύγος, όχι έναν αριθμό

Μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους έχει τη μορφή:

αx + βy = γ

Οι αριθμοί α, β λέγονται συντελεστές των x, y, και γ είναι ο σταθερός όρος. Λύση της εξίσωσης είναι κάθε διατεταγμένο ζεύγος (x, y) που την επαληθεύει: αν βάλεις τους δύο αριθμούς στη θέση των x, y, τα δύο μέλη βγαίνουν ίσα. Η σειρά μετράει — το ζεύγος (3, 0) δεν είναι το ίδιο με το (0, 3).

Για να βρεις μία λύση: διαλέγεις μια τιμή για το x και λύνεις την εξίσωση ως προς y (ή αντίστροφα). Κάθε επιλογή δίνει μια διαφορετική λύση, γι’ αυτό υπάρχουν άπειρες.

Σειρά σου: είναι το ζεύγος (1, 2) λύση της 2x − 3y = 6;

Επαλήθευση: στην επιλογή «Σημείο Μ»

Στην επιλογή «Σημείο Μ» της εφαρμογής σύρεις ένα σημείο Μ και βλέπεις τη γραμμή αx + βy με τους αριθμούς του Μ ήδη μέσα, μαζί με το αποτέλεσμα και το «= γ» ή «≠ γ». Αυτό είναι ακριβώς η επαλήθευση, ζωντανά.

Πρόβλεψε: στην εξίσωση 2x − 3y = 6 (αυτή με την οποία ξεκινά η εφαρμογή), είναι το ζεύγος (3, 0) λύση;

Σύρε το σημείο Μ στην εφαρμογή ακριβώς στο (3, 0) (ή μετακίνησέ το με τα βελάκια). Η γραμμή δείχνει το ίδιο αποτέλεσμα, και το Μ φαίνεται πάνω στην ευθεία, με άλλο χρώμα από ό,τι όταν δεν είναι λύση. Δοκίμασε μετά ένα σημείο εκτός ευθείας, όπως (1, 1), και δες τη διαφορά.

Η γραφική παράσταση είναι ευθεία

Όλα τα σημεία-λύσεις μιας εξίσωσης αx + βy = γ, όταν α ≠ 0 ή β ≠ 0, βρίσκονται πάνω σε μία ευθεία γραμμή ε. Ισχύει και το αντίστροφο: κάθε σημείο πάνω στην ε είναι λύση της εξίσωσης, και κανένα άλλο σημείο του επιπέδου δεν είναι. Γι’ αυτό λέμε ότι η εξίσωση παριστάνει την ευθεία ε.

Για να σχεδιάσεις την ε αρκούν δύο σημεία της (δύο λύσεις). Τα πιο εύκολα να υπολογίσεις είναι εκεί που η ευθεία τέμνει τους άξονες:

• Βάζεις x = 0 και λύνεις ως προς y: παίρνεις το σημείο τομής με τον άξονα y′y.
• Βάζεις y = 0 και λύνεις ως προς x: παίρνεις το σημείο τομής με τον άξονα x′x.

Στην εφαρμογή, η επιλογή «Σχεδίαση» κάνει ακριβώς αυτό βήμα προς βήμα. Διάλεξε «Σχεδίαση» με την εξίσωση 2x − 3y = 6 και πάτα «Επόμενο βήμα» μία-μία φορά: θα δεις πρώτα το σημείο Α στον άξονα y′y, μετά το Β στον άξονα x′x, και τέλος την ευθεία που τα ενώνει.

Συχνό λάθος: νομίζω ότι αρκεί ένα σημείο για να σχεδιάσω μια ευθεία. Ένα σημείο περνάει από άπειρες διαφορετικές ευθείες με διάφορες κλίσεις — μόνο δύο σημεία ορίζουν ποια ακριβώς ευθεία θέλω.

Ευθεία από την αρχή: όταν γ = 0

Όταν γ = 0, το ζεύγος (0, 0) είναι πάντα λύση (αφού α · 0 + β · 0 = 0), οπότε η ευθεία περνάει από την αρχή των αξόνων Ο. Τότε η τομή με τον άλλο άξονα δεν δίνει δεύτερο σημείο (συμπίπτει με το Ο), και διαλέγεις οποιαδήποτε άλλη τιμή του x που δίνει ακέραιο y.

Γρήγορος έλεγχος: γιατί στην εξίσωση x + 2y = 0 δεν αρκεί να βρεις τα σημεία τομής με τους δύο άξονες;

Ειδικές περιπτώσεις: όταν λείπει ο ένας άγνωστος

Μερικές φορές η εξίσωση δεν έχει και τους δύο αγνώστους:

• Αν α = 0 (και β ≠ 0), η εξίσωση γίνεται y = κ: το y έχει την ίδια τιμή για κάθε x. Η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα x′x.
• Αν β = 0 (και α ≠ 0), η εξίσωση γίνεται x = κ: το x έχει την ίδια τιμή για κάθε y. Η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα y′y.

Στην εφαρμογή, οι προεπιλογές «0x + 2y = 4» και «3x + 0y = −6» δείχνουν ακριβώς αυτές τις δύο περιπτώσεις. Διάλεξέ τις μία-μία, με την επιλογή «Σχεδίαση», και πάτα «Όλα τα βήματα»: θα δεις τη γραμμή πληροφοριών να λέει «για κάθε x» ή «για κάθε y», και την ευθεία οριζόντια ή κατακόρυφη.

Συχνό λάθος: μπερδεύω το y = 3 (παράλληλη στον x′x) με το x = 3 (παράλληλη στον y′y). Θυμήσου: η εξίσωση λέει ποιος άξονας έχει τη σταθερή τιμή· η ευθεία είναι παράλληλη στον άλλο άξονα, εκεί που η τιμή αλλάζει ελεύθερα.

Αδύνατη εξίσωση και ταυτότητα: όταν α = β = 0

Αν α = 0 και β = 0, το πρώτο μέλος 0x + 0y είναι πάντα 0, όσα κι αν είναι τα x, y. Τότε η εξίσωση δεν εξαρτάται πια από το ζεύγος — εξαρτάται μόνο από το γ:

• Αν γ ≠ 0 (π.χ. 0x + 0y = 3): το πρώτο μέλος είναι πάντα 0, ποτέ ίσο με γ. Καμία λύση — η εξίσωση είναι αδύνατη. Δεν υπάρχει καθόλου γραφική παράσταση.
• Αν γ = 0 (η 0x + 0y = 0): το πρώτο μέλος είναι πάντα ίσο με το δεύτερο. Κάθε ζεύγος (x, y) είναι λύση — όχι μία ευθεία, αλλά ολόκληρο το επίπεδο.

Στην εφαρμογή δοκίμασε τις προεπιλογές «0x + 0y = 3» και «0x + 0y = 0» με την επιλογή «Σχεδίαση», πατώντας «Επόμενο βήμα»: στην πρώτη η γραμμή πληροφοριών λέει ότι η εξίσωση είναι αδύνατη, στη δεύτερη ότι κάθε σημείο είναι λύση, και το φόντο βάφεται για να δείξει ολόκληρο το επίπεδο.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: η εξίσωση 0x + 0y = 0 παριστάνει ευθεία;

Επιπλέον — για αργότερα

Στις επόμενες ενότητες (§3.2 και §3.3) θα δεις τι σημαίνει να λύνεις δύο τέτοιες εξισώσεις μαζί (ένα σύστημα): τότε ψάχνεις το κοινό σημείο των δύο ευθειών τους. Η εξίσωση αx + βy = γ εδώ μελετήθηκε μόνη της.

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής (εξίσωση «2x − 3y = 6», επιλογή «Σημείο Μ»), σύρε το Μ στο (3, 0) και διάβασε τη γραμμή με τους αριθμούς: βγαίνει «= 6» ή «≠ 6»; Μετά σύρε το στο (1, 1) και συγκρίνε.
2. Διάλεξε «Σχεδίαση» με την ίδια εξίσωση και πάτα «Επόμενο βήμα» τρεις φορές στη σειρά. Σε κάθε βήμα, πριν κοιτάξεις τη γραφική παράσταση, πρόβλεψε ποιο σημείο θα εμφανιστεί.
3. Επίλεξε την προεπιλογή «0x + 2y = 4». Στο «Σημείο Μ», δοκίμασε τα σημεία (−3, 2) και (−3, 5): ποιο είναι λύση, και γιατί δεν έχει σημασία το x;
4. Επίλεξε «3x + 0y = −6» και δες στο «Σχεδίαση» γιατί η ευθεία είναι κατακόρυφη. Σύγκρινέ τη με την προηγούμενη (οριζόντια).
5. Επίλεξε «0x + 0y = 3» και μετά «0x + 0y = 0» στο «Σχεδίαση». Διάβασε τι λέει η εφαρμογή για τη γραφική παράσταση σε κάθε περίπτωση, και εξήγησε τη διαφορά με δικά σου λόγια.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Στην εξίσωση 4x − y = 8, έλεγξε αν τα ζεύγη (2, 0) και (0, 8) είναι λύσεις.

   Λύση

   4 · 2 − 0 = 8: το (2, 0) είναι λύση. 4 · 0 − 8 = −8, και −8 ≠ 8: το (0, 8) δεν είναι λύση.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις παριστάνουν ευθεία παράλληλη σε κάποιον άξονα, και σε ποιον: y = −2, x = 5, x + y = 1;

   Λύση

   y = −2: παράλληλη στον x′x (το y σταθερό). x = 5: παράλληλη στον y′y (το x σταθερό). x + y = 1: καμία από τις δύο, έχει και τους δύο συντελεστές διαφορετικούς από 0.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Βρες τα σημεία τομής με τους άξονες της εξίσωσης 3x + 2y = 12 και σχεδίασε νοητά την ευθεία.

   Λύση

   Για x = 0: 2y = 12, y = 6· σημείο (0, 6). Για y = 0: 3x = 12, x = 4· σημείο (4, 0). Η ευθεία περνά από τα δύο αυτά σημεία.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Δίνεται η εξίσωση 5x − y = 0. Βρες δύο λύσεις της, διαφορετικές από το (0, 0).

   Λύση

   γ = 0, άρα η ευθεία περνά από το Ο. Για x = 1: y = 5· σημείο (1, 5). Για x = 2: y = 10· σημείο (2, 10). (Δεκτή κάθε άλλη σωστή επιλογή.)

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Δίνεται η εξίσωση κx + 2y = 6, όπου κ ένας αριθμός. Για ποια τιμή του κ το σημείο (3, 3) είναι λύση της; Τι είδους ευθεία προκύπτει τότε;

   Λύση

   Αντικαθιστώ: κ · 3 + 2 · 3 = 6, δηλαδή 3κ + 6 = 6, άρα 3κ = 0 και κ = 0. Τότε η εξίσωση γίνεται 2y = 6, δηλαδή y = 3: ευθεία παράλληλη στον άξονα x′x.