Εφαρμογές Μαθηματικών · Άλγεβρα · Κεφ. 1 · §1.5

Αξιοσημείωτες ταυτότητες

Θεωρία

Το τετράγωνο αθροίσματος: (α + β)²

Το τετράγωνο με πλευρά α + β χωρίζεται σε τέσσερα κομμάτια: το τετράγωνο α², το τετράγωνο β², και δύο ορθογώνια αβ (ένα πάνω δεξιά, ένα κάτω αριστερά). Προσθέτοντας τα εμβαδά τους:

(α + β)² = α² + 2αβ + β²

Η ίδια ταυτότητα δουλεύει με x στη θέση του α και έναν αριθμό στη θέση του β.

Συχνό λάθος: (α + β)² = α² + β², ξεχνώντας το 2αβ. Συμβαίνει γιατί το «υψώνω στο τετράγωνο» μοιάζει να μοιράζεται στους όρους του αθροίσματος, όπως μοιράζεται ο πολλαπλασιασμός· δεν είναι όμως το ίδιο πράγμα, γιατί το τετράγωνο ενός αθροίσματος δεν είναι άθροισμα τετραγώνων. Ο έλεγχος με έναν αριθμό το πιάνει αμέσως: για α = 3, β = 2, το σωστό δίνει 5² = 25, το λάθος δίνει 9 + 4 = 13. Δεν ταιριάζουν.

Το τετράγωνο διαφοράς: (α − β)²

Ξεκινάς από το τετράγωνο α² και αφαιρείς δύο λωρίδες πλάτους β, μία από πάνω και μία από το πλάι. Η γωνιακή περιοχή β² ανήκει και στις δύο λωρίδες, οπότε αφαιρείται δύο φορές· για να μείνει σωστό το εμβαδόν, προστίθεται πίσω μία φορά.

(α − β)² = α² − 2αβ + β²

Πρόβλεψε: στο (α − β)², πόσες φορές αφαιρείται συνολικά το εμβαδόν β² από τις δύο λωρίδες, πριν προστεθεί πίσω;

Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά: (α + β)(α − β)

Από το τετράγωνο α² κόβεις τη γωνιακή περιοχή β². Το κομμάτι που μένει σε σχήμα Γ γυρίζει: το κομμάτι β(α − β) μετακινείται δίπλα στο υπόλοιπο και μαζί σχηματίζουν ένα ορθογώνιο με πλευρές α + β και α − β. Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι το ίδιο με το εμβαδόν που έμεινε μετά την αφαίρεση:

(α + β)(α − β) = α² − β²

Δεν υπάρχει μεσαίος όρος, γιατί τα δύο κομμάτια αβ που θα εμφανίζονταν σε ένα κανονικό γινόμενο εδώ είναι αντίθετα και σβήνουν: αβ − αβ = 0. Παράδειγμα: (x + 5)(x − 5) = x² − 25. Έλεγχος με x = 1: αριστερά 6 · (−4) = −24, δεξιά 1 − 25 = −24.

Ο κύβος αθροίσματος: (α + β)³

Σε τρεις διαστάσεις, ο κύβος με ακμή α + β χωρίζεται σε 8 κουτιά: ένας κύβος α³ στη μία γωνία, ένας κύβος β³ στην απέναντι γωνία, τρία ορθογώνια κουτιά α²β και τρία κουτιά αβ².

(α + β)³ = α³ + 3α²β + 3αβ² + β³

Έλεγχος με αριθμούς, α = 2, β = 1: αριστερά 3³ = 27, δεξιά 8 + 3 · 4 · 1 + 3 · 2 · 1 + 1 = 8 + 12 + 6 + 1 = 27. Ταιριάζουν.

Αναγνωρίζω μια ταυτότητα ανάποδα

Οι ταυτότητες δουλεύουν και προς τα πίσω: αν μια παράσταση έχει την ίδια μορφή με το ανεπτυγμένο μέλος, μπορείς να τη γράψεις ξανά ως τετράγωνο ή ως γινόμενο. Ελέγχεις τα δύο τετράγωνα άκρα και το πρόσημο, μετά επιβεβαιώνεις το μεσαίο όρο.

Γρήγοροι υπολογισμοί με αριθμούς

Οι ταυτότητες βοηθούν και σε νοερούς υπολογισμούς, αν γράψεις τον αριθμό σαν άθροισμα ή διαφορά δύο βολικών αριθμών.

51² = (50 + 1)² = 50² + 2 · 50 · 1 + 1² = 2500 + 100 + 1 = 2601.

49 · 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 50² − 1² = 2500 − 1 = 2499.

Σειρά σου: υπολόγισε νοερά το 39 · 41, γράφοντάς το σαν (40 − 1)(40 + 1).

Επιπλέον — για αργότερα

Οι ίδιες ταυτότητες διαβάζονται και ανάποδα σε ολόκληρες κατηγορίες παραστάσεων: κάθε τριώνυμο με την ίδια μορφή με το α² ± 2αβ + β² ξαναγίνεται τετράγωνο, και κάθε διαφορά δύο τετραγώνων α² − β² ξαναγίνεται γινόμενο. Αυτό είναι το πρώτο βήμα της παραγοντοποίησης, που θα δεις αναλυτικά στην επόμενη ενότητα.

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής (Ταυτότητα «(α + β)²», α = 5, β = 2), σύρε το ρυθμιστικό «Μετακίνηση» από 0 έως 100%. Μέτρησε τα τέσσερα κομμάτια που χωρίζονται και σύγκρινε τη σειρά «5² + 2² = 29 ≠ 49» με τη σωστή ανάπτυξη στις πληροφορίες κάτω από το σχήμα.
2. Άλλαξε την Ταυτότητα σε «(α − β)²», με τα ίδια α = 5, β = 2. Σύρε ξανά το «Μετακίνηση» και βρες τις δύο διακεκομμένες λωρίδες που αφαιρούνται. Ποιο κομμάτι φωτίζεται με ετικέτα «+β²» και γιατί προστίθεται, ενώ οι λωρίδες αφαιρούνται;
3. Επίλεξε Ταυτότητα «(α + β)(α − β)» με α = 6, β = 3. Στο 100% του «Μετακίνηση» δες το κομμάτι που έχει γυρίσει. Ποιες είναι οι δύο πλευρές του ορθογωνίου που σχηματίζεται, και ποιο εμβαδόν δίνει; Έλεγξέ το με το α² − β² στις πληροφορίες.
4. Επίλεξε Ταυτότητα «(α + β)³» και σύρε το «Μετακίνηση». Μέτρησε πόσα από τα 8 κουτιά είναι α³, πόσα α²β, πόσα αβ² και πόσα β³. Πρόσθεσέ τα με το χέρι και σύγκρινε με τον τύπο.
5. Σε όποια Ταυτότητα θέλεις, άλλαξε τα α, β με τα ρυθμιστικά. Κάθε φορά διάβασε τη σειρά με το «≠» (όπου υπάρχει) και σύγκρινέ την με τη σωστή σειρά από κάτω. Πόσο μεγαλώνει η διαφορά τους καθώς μεγαλώνουν τα α, β;

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Στην παράσταση (x − 4)², πες ποια ταυτότητα ταιριάζει, ποιοι είναι οι α, β, και τι πρόσημο θα έχει ο μεσαίος όρος.

   Λύση

   Ταιριάζει το τετράγωνο διαφοράς, με α = x και β = 4. Ο μεσαίος όρος είναι αρνητικός: −2 · x · 4 = −8x.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Συμπλήρωσε: (x + 6)² = x² + ___ + ___.

   Λύση

   (x + 6)² = x² + 12x + 36, γιατί 2 · x · 6 = 12x και 6² = 36.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ανάπτυξε την παράσταση (3x − 2)².

   Λύση

   (3x − 2)² = (3x)² − 2 · 3x · 2 + 2² = 9x² − 12x + 4. Έλεγχος με x = 1: αριστερά 1² = 1, δεξιά 9 − 12 + 4 = 1.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ανάπτυξε την παράσταση (x + 7)(x − 7).

   Λύση

   (x + 7)(x − 7) = x² − 49. Έλεγχος με x = 1: αριστερά 8 · (−6) = −48, δεξιά 1 − 49 = −48.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Υπολόγισε νοερά το 98² με μια αξιοσημείωτη ταυτότητα, γράφοντας πρώτα το 98 ως άθροισμα ή διαφορά δύο βολικών αριθμών.

   Λύση

   98 = 100 − 2, άρα 98² = (100 − 2)² = 100² − 2 · 100 · 2 + 2² = 10000 − 400 + 4 = 9604.