Εφαρμογές Μαθηματικών · Γεωμετρία · Κεφ. 1 · §1.4

Ομοιοθεσία

Θεωρία

Κέντρο Ο και λόγος λ

Μια ομοιοθεσία ορίζεται από ένα σημείο Ο (το κέντρο) και έναν αριθμό λ διάφορο του 0 (τον λόγο). Κάθε σημείο Α του επιπέδου έχει μια εικόνα Α′ πάνω στην ευθεία ΟΑ, με:

ΟΑ′ = |λ| · ΟΑ

Το Α′ βρίσκεται στην ίδια πλευρά του Ο με το Α όταν λ > 0, και στην απέναντι πλευρά όταν λ < 0. Το Ο μένει πάντα στη θέση του: είναι το μόνο σημείο που ταυτίζεται με την εικόνα του. Στην εφαρμογή, το Ο είναι η λαβή «κέντρο Ο» και ο λόγος ρυθμίζεται με το ρυθμιστικό «λ =».

Πρόβλεψε: αν λ = 3, το Α′ θα είναι πιο κοντά ή πιο μακριά από το Ο σε σχέση με το Α;

Μεγέθυνση, σμίκρυνση, ταυτότητα, συμμετρία

Η τιμή του λόγου λέει τι είδους μετασχηματισμός γίνεται:

• |λ| > 1: μεγέθυνση — κάθε μήκος του σχήματος πολλαπλασιάζεται επί έναν αριθμό μεγαλύτερο του 1.
• |λ| < 1: σμίκρυνση — κάθε μήκος γίνεται μικρότερο.
• λ = 1: κάθε σημείο μένει ακριβώς στη θέση του — το F′ ταυτίζεται με το F.
• λ = −1: κάθε σημείο πάει στην απέναντι πλευρά του Ο, στην ίδια ακριβώς απόσταση — αυτό είναι το σχήμα «γυρισμένο» 180° γύρω από το Ο, δηλαδή η συμμετρία ως προς το σημείο Ο.

Ο λόγος λ = 0 δεν επιτρέπεται: τότε κάθε σημείο θα έπεφτε πάνω στο Ο, και το σχήμα θα «κατέρρεε» σε ένα μόνο σημείο — δεν θα ήταν πια σχήμα.

Γρήγορος έλεγχος: αν |λ| = 0,5, πρόκειται για μεγέθυνση ή σμίκρυνση;

Πώς κατασκευάζεις την εικόνα ενός σημείου και ενός σχήματος

Για να βρεις την εικόνα Α′ ενός σημείου Α, με κέντρο Ο και λόγο λ:

1. Φέρε την ευθεία ΟΑ.
2. Μέτρησε πάνω σε αυτήν απόσταση |λ| · ΟΑ από το Ο: προς την ίδια πλευρά του Α αν λ > 0, προς την απέναντι αν λ < 0.
3. Το σημείο που βρήκες είναι το Α′.

Για την εικόνα ενός ολόκληρου σχήματος (π.χ. ενός τριγώνου ή τετραπλεύρου), επανάλαβε τα ίδια βήματα για κάθε κορυφή — κάθε κορυφή έχει τη δική της ευθεία από το Ο — και μετά ένωσε τις εικόνες με την ίδια σειρά που είχαν οι αρχικές κορυφές. Στην εφαρμογή αυτό φαίνεται με τις διακεκομμένες γραμμές από το Ο προς κάθε κορυφή: το F′ είναι πάντα το σχήμα που σχηματίζουν τα σημεία στο άκρο τους.

Σκέψου: αν μετακινήσεις το κέντρο Ο, χωρίς να αλλάξεις το λ, αλλάζει το μέγεθος του F′;

Ιδιότητες: ίδιο σχήμα, άλλο μέγεθος

Η εικόνα μιας πλευράς ΑΒ είναι πάντα ένα τμήμα Α′Β′ παράλληλο στο ΑΒ, με μήκος |λ| φορές το μήκος του ΑΒ:

Α′Β′ = |λ| · ΑΒ, Α′Β′ ∥ ΑΒ

Επιπλέον, κάθε γωνία του σχήματος μένει ίδια στην εικόνα του: αν γωνία Β = 70° στο F, τότε και η αντίστοιχη γωνία στο F′ είναι 70°. Ίδιες γωνίες και ανάλογες πλευρές σημαίνουν ότι το F′ έχει ακριβώς το ίδιο σχήμα με το F — μόνο το μέγεθος (και ίσως ο προσανατολισμός, όταν λ < 0) αλλάζει. Στο §1.5 θα ονομάσεις αυτή την ιδιότητα ομοιότητα· η ομοιοθεσία είναι ο πιο απλός τρόπος να την πετύχεις.

Το ότι οι πλευρές του F′ είναι παράλληλες στις αντίστοιχες του F δεν είναι τυχαίο: είναι ακριβώς το θεώρημα του Θαλή (§1.3) σε δράση, εφαρμοσμένο στα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑ′Β′ — οι ευθείες ΟΑ και ΟΒ παίζουν τον ρόλο των δύο τεμνουσών, και το ΑΒ, Α′Β′ είναι δύο παράλληλα τμήματα που τις κόβουν σε ανάλογα κομμάτια.

Σειρά σου: αν σε ένα τρίγωνο F η γωνία Γ είναι ορθή (90°), τι θα ισχύει για την αντίστοιχη γωνία στο F′;

Η ομοιοθεσία γύρω μας

Η ίδια ιδέα εμφανίζεται παντού όπου κάτι μεγαλώνει ή μικραίνει χωρίς να αλλάζει σχήμα: ο προβολέας ή η οθόνη ενός βιντεοπροβολέα (κέντρο στον φακό), το «zoom» ενός φωτοτυπικού, η σκιά ενός αντικειμένου κάτω από μια μικρή πηγή φωτός (κέντρο στη λάμπα), ή ο παντογράφος — ένα παλιό εργαλείο με αρθρωτούς βραχίονες που αντιγράφει ένα σχέδιο μεγεθυμένο, κρατώντας ένα σημείο σταθερό ως κέντρο.

Επιπλέον — για αργότερα

Στο §1.5 θα δεις την ομοιότητα: δύο σχήματα με ίσες γωνίες και ανάλογες πλευρές, όπως ακριβώς ένα σχήμα και η ομοιόθετη εικόνα του εδώ. Στο §1.6, ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων θα αποδειχθεί ότι είναι λ², όχι λ.

Συχνό λάθος: να ξεχνάς την απόλυτη τιμή και να πολλαπλασιάζεις το μήκος με το πρόσημο του λ, ή να μετράς την απόσταση από λάθος σημείο αντί από το Ο. Παράδειγμα: λ = −2, ΟΔ = 4. Το λάθος είναι να γράψεις ΟΔ′ = −2 · 4 = −8 — ένα μήκος όμως δεν μπορεί να είναι αρνητικό. Το σωστό: ΟΔ′ = |−2| · 4 = 8, και το πρόσημο του λ λέει μόνο ότι το Δ′ είναι στην απέναντι πλευρά του Ο από το Δ — δεν αλλάζει το μήκος.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: γιατί το μήκος ΟΑ′ δεν μπορεί ποτέ να βγει αρνητικό, ακόμα κι όταν ο λόγος λ είναι αρνητικός;

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής, απάντησε πρώτα στην ερώτηση πρόβλεψης («Με λόγο λ = −1, πού πηγαίνει το σχήμα;»). Μετά μετακίνησε το ρυθμιστικό «λ =» στο −1 και δες το σχήμα να περνά στην απέναντι πλευρά του Ο, στο ίδιο ακριβώς μέγεθος.
2. Στο «Σχήμα F» επίλεξε «Τετράπλευρο» ή «Σπιτάκι», σύρε μία κορυφή σε νέα θέση, και παρακολούθησε τις τιμές ΟΑ′ και Α′Β′ στην περιοχή πληροφοριών να ενημερώνονται αμέσως.
3. Με το «λ =» σε μια τιμή όπως 2, σύρε αργά το ρυθμιστικό «από F σε F′» από 0 % ως 100 % και δες το σχήμα να μεγαλώνει σταδιακά μέχρι να γίνει το F′.
4. Σύρε το κέντρο Ο σε νέα θέση, ακόμα και έξω από το σχήμα: οι διακεκομμένες γραμμές και οι τιμές προσαρμόζονται, ενώ οι πλευρές του F′ μένουν πάντα παράλληλες στις αντίστοιχες πλευρές του F.
5. Πάτησε N μέχρι να επιλεγεί η λαβή «κέντρο Ο», και μετακίνησέ την με τα βέλη του πληκτρολογίου αντί με το ποντίκι: δες ολόκληρο το F′ να μετατοπίζεται μαζί με το Ο.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Σε ομοιοθεσία κέντρου Ο και λόγου λ, πού βρίσκεται η εικόνα Α′ ενός σημείου Α;

   Λύση

   Πάνω στην ευθεία ΟΑ, με ΟΑ′ = |λ| · ΟΑ: στην ίδια πλευρά του Ο με το Α αν λ > 0, στην απέναντι αν λ < 0.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Ποια τιμή του λόγου λ δίνει ταυτοτικό μετασχηματισμό (κάθε σημείο μένει στη θέση του), και ποια δίνει συμμετρία ως προς το κέντρο Ο;

   Λύση

   λ = 1 δίνει ταυτότητα (το F′ ταυτίζεται με το F)· λ = −1 δίνει συμμετρία ως προς το Ο.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Ομοιοθεσία κέντρου Ο με λ = 4. Αν ΟΒ = 2,5, βρες το ΟΒ′.

   Λύση

   ΟΒ′ = |4| · 2,5 = 10.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Σε ομοιοθεσία κέντρου Ο, ΓΔ = 6 και η αντίστοιχη πλευρά Γ′Δ′ = 21, με το Γ′ στην ίδια πλευρά του Ο με το Γ. Βρες τον λόγο λ.

   Λύση

   |λ| = 21 διά 6 = 3,5, και αφού είναι στην ίδια πλευρά, λ = 3,5.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ομοιοθεσία κέντρου Ο με λ = −0,5 και ΟΕ = 8. Ένας μαθητής υπολόγισε ΟΕ′ = −0,5 · 8 = −4 και είπε «βγήκε αρνητικό μήκος, κάτι πήγε στραβά». Βρες το σωστό ΟΕ′ και εξήγησε πού βρίσκεται στην πράξη του μαθητή το λάθος.

   Λύση

   ΟΕ′ = |−0,5| · 8 = 4, και το Ε′ είναι στην απέναντι πλευρά του Ο από το Ε, αφού λ < 0. Το λάθος του μαθητή είναι ότι πολλαπλασίασε το μήκος με το λ μαζί με το πρόσημό του· το πρόσημο του λ δείχνει μόνο την πλευρά, το μήκος χρησιμοποιεί πάντα το |λ|, που δεν είναι ποτέ αρνητικό.