Εφαρμογές Μαθηματικών · Άλγεβρα · Κεφ. 2 · §2.4

Κλασματικές εξισώσεις

Θεωρία

Τι είναι μια κλασματική εξίσωση

Σε μια κλασματική εξίσωση ο άγνωστος x εμφανίζεται σε τουλάχιστον έναν παρονομαστή, π.χ. 5 διά x − 2 = 3. Δεν είναι το ίδιο με μια ρητή παράσταση (§1.9): εκεί απλοποιούσες ή έκανες πράξεις· εδώ έχεις μια ισότητα και ψάχνεις τιμές του x που την επαληθεύουν, όπως στις §2.1–2.3, μόνο που τώρα μερικοί όροι είναι κλάσματα με x στον παρονομαστή.

Σκέψου: η εξίσωση x/2 = 5 έχει άγνωστο σε παρονομαστή; Είναι κλασματική;

Πρώτο βήμα, πάντα: οι περιορισμοί

Πριν κάνεις οποιαδήποτε πράξη, βρίσκεις τις τιμές του x που μηδενίζουν κάποιον παρονομαστή· αυτές απαγορεύονται. Στο 5 διά x − 2 = 3 ο παρονομαστής μηδενίζεται στο x = 2, άρα x ≠ 2. Οι περιορισμοί δεν αλλάζουν όσο λύνεις την εξίσωση· τους χρειάζεσαι στο τέλος, για να ελέγξεις τις λύσεις που θα βρεις.

Συχνό λάθος: να βρίσκεις τους περιορισμούς αφού λύσεις την εξίσωση, ή να μην τους βρίσκεις καθόλου. Τότε δεν έχεις με τι να συγκρίνεις τις λύσεις σου, και μια λύση που δεν επιτρέπεται περνάει απαρατήρητη. Οι περιορισμοί είναι πάντα το πρώτο βήμα, πριν αγγίξεις οτιδήποτε άλλο στην εξίσωση.

Παραγοντοποίηση των παρονομαστών και το Ε.Κ.Π.

Όταν μια εξίσωση έχει πολλούς παρονομαστές, τους παραγοντοποιείς πρώτα (§1.6), όπως και στις ρητές παραστάσεις. Ένας παρονομαστής όπως x² − 9 γράφεται (x − 3)(x + 3), κι ένας όπως 2x + 4 γράφεται 2(x + 2). Μόνο έτσι βλέπεις ποιοι παράγοντες επαναλαμβάνονται, και μπορείς να βρεις το Ε.Κ.Π. (§1.8) των παρονομαστών: το μικρότερο γινόμενο παραγόντων που περιέχει καθέναν από αυτούς.

Συχνό λάθος: να «διαγράφεις» ένα κοινό γράμμα ανάμεσα σε όρους ενός αθροίσματος πριν παραγοντοποιήσεις τίποτα, π.χ. να απλοποιείς το x + 5 διά x σε 5 «διαγράφοντας» το x. Δεν επιτρέπεται: το x δεν είναι παράγοντας ολόκληρου του αριθμητή x + 5, είναι μόνο ένας όρος του. Διαγράφεις μόνο έναν παράγοντα κοινό σε ολόκληρο τον αριθμητή και ολόκληρο τον παρονομαστή (§1.9), ποτέ έναν όρο μέσα σε άθροισμα.

Απαλοιφή παρονομαστών: κάθε όρος επί το Ε.Κ.Π.

Πολλαπλασιάζεις κάθε όρο της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π. — και τους όρους που έχουν κλάσμα, και όσους δεν έχουν. Ένας όρος χωρίς παρονομαστή, όπως το x στο δεύτερο μέλος της 6 διά x = x − 1, έχει «κρυφό» παρονομαστή το 1, άρα πολλαπλασιάζεται κι αυτός με ολόκληρο το Ε.Κ.Π., όχι μόνο τα κλασματικά μέλη. Σε κάθε αριθμητή, ο παράγοντας με τον οποίο πολλαπλασιάζεις είναι αυτός που λείπει από τον δικό του παρονομαστή για να φτάσει στο Ε.Κ.Π. (ίδια ιδέα με την πρόσθεση ρητών παραστάσεων, §1.10).

Συχνό λάθος: όταν ένας αριθμητής είναι άθροισμα και μπροστά του υπάρχει πλην, να ξεχνάς την παρένθεση. Στο x + 2 διά x − 1 διά x − 1, πολλαπλασιάζοντας το πρώτο κλάσμα με ό,τι λείπει, ο νέος αριθμητής είναι (x + 2)(x − 1) σε παρένθεση, όχι x + 2(x − 1). Αν παραλείψεις την παρένθεση, το πλην πριν το δεύτερο κλάσμα πολλαπλασιάζεται λάθος και αλλάζει το πρόσημο μόνο σε ένα κομμάτι του αθροίσματος αντί σε όλο.

Γιατί μπορεί να εμφανιστεί λύση που δεν είναι λύση

Η εξίσωση χωρίς κλάσματα ισχύει σε δύο περιπτώσεις: είτε τα δύο αρχικά μέλη είναι πράγματι ίσα, είτε ο πολλαπλασιαστής (το Ε.Κ.Π.) μηδενίστηκε — κι αυτό συμβαίνει ακριβώς στους περιορισμούς, όπως στο κόλπο 5 = 7 επί 0 από την αρχή της σελίδας. Γι' αυτό μια ρίζα της καθαρής εξίσωσης μπορεί να «βγει» ίση με έναν περιορισμό: δεν είναι λύση της αρχικής εξίσωσης, είναι απλώς το σημείο όπου ο πολλαπλασιασμός έγινε επί 0.

Έλεγχος και απόρριψη λύσεων

Κάθε ρίζα που βρίσκεις στην καθαρή εξίσωση την συγκρίνεις με τους περιορισμούς που βρήκες στην αρχή. Αν δεν συμπίπτει με κανέναν, είναι δεκτή. Αν συμπίπτει, απορρίπτεται. Αν απορριφθούν όλες οι ρίζες (ή δεν υπάρχει καμία), η εξίσωση είναι αδύνατη· αν μια ταυτότητα σαν 0 = 0 προκύψει χωρίς κανένα x, τότε κάθε επιτρεπτό x είναι λύση.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: στο Λυμένο παράδειγμα 2, γιατί απορρίφθηκε η ρίζα x = 3, αν και οι πράξεις ήταν σωστές;

Κλασματικές εξισώσεις που καταλήγουν σε δευτεροβάθμια

Όταν το Ε.Κ.Π. έχει το x ως παράγοντα σε παραπάνω από έναν όρο, μετά την απαλοιφή μπορεί να μείνει ένα x²: η καθαρή εξίσωση γίνεται 2ου βαθμού, και τη λύνεις όπως στην §2.2 (διακρίνουσα ή παραγοντοποίηση).

Πρόβλεψε: η εξίσωση 8 διά x = x + 2 θα καταλήξει σε εξίσωση 1ου ή 2ου βαθμού, πριν κάνεις καμία πράξη;

Προβλήματα με λόγια

Σε προβλήματα με ρυθμούς (γέμισμα δεξαμενής, εργασία μαζί), ο χρόνος κάθε «εργάτη» εμφανίζεται σε παρονομαστή, γιατί ο ρυθμός του είναι «1 δουλειά διά τον χρόνο του». Εδώ προσέχεις κάτι επιπλέον: μια ρίζα μπορεί να απορριφθεί όχι επειδή είναι περιορισμός, αλλά επειδή δεν έχει νόημα μέσα στο πρόβλημα — π.χ. αρνητικός χρόνος.

Συχνό λάθος: να μπερδεύεις έναν περιορισμό (τιμή που η εξίσωση απαγορεύει εξαρχής, γιατί μηδενίζει παρονομαστή) με μια λύση που απορρίπτεται επειδή δεν ταιριάζει στο πρόβλημα (όπως το x = −2 πιο πάνω). Και τα δύο απορρίπτονται, αλλά για διαφορετικό λόγο: το ένα κάνει την αρχική εξίσωση χωρίς νόημα, το άλλο απλώς δεν περιγράφει τη ζωή — π.χ. αρνητικό χρόνο ή αρνητικό μήκος.

Επιπλέον — για αργότερα

Στην §2.5 θα δεις ανισώσεις, όπου συγκρίνεις μια παράσταση με 0 ή με έναν αριθμό αντί να τη μηδενίζεις· η ιδέα των περιορισμών σε παρονομαστή θα ξαναχρειαστεί όταν συναντήσεις ρητές ανισώσεις σε μεγαλύτερη τάξη.

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής (Εξίσωση «3/x = 2/(x − 1)»), πάτα «Επόμενο βήμα» μέχρι να εμφανιστούν όλα τα βήματα: περιορισμοί, Ε.Κ.Π., η εξίσωση χωρίς κλάσματα, η ρίζα, η αποδοχή της. Κοίταξε τη γραφική παράσταση: στο x = 3 οι δύο καμπύλες συναντιούνται;
2. Επίλεξε Εξίσωση «6/x = x − 1». Πριν πατήσεις «Όλα τα βήματα», πρόβλεψε αν θα προκύψει μία ή δύο λύσεις. Μετά έλεγξε: και οι δύο ρίζες είναι δεκτές;
3. Επίλεξε Εξίσωση «x²/(x − 1) = 1/(x − 1)». Απάντησε πρώτα στην ερώτηση πρόβλεψης που εμφανίζεται. Μετά πάτα «Όλα τα βήματα» και βρες πού εμφανίζεται ο σταυρός πάνω στον άξονα x, και ποια ρίζα δείχνει.
4. Επίλεξε Εξίσωση «1/(x − 2) + 1/(x + 2) = 4/(x² − 4)». Πριν πατήσεις τίποτα, πρόβλεψε αν οι δύο καμπύλες θα συναντηθούν κάπου. Μετά έλεγξε το συμπέρασμα στις γραμμές πληροφοριών: η εξίσωση είναι αδύνατη;
5. Επίλεξε την τελευταία Εξίσωση, «2/(x − 1) − 1/x = (x + 1)/(x² − x)». Κοίταξε τις δύο καμπύλες μακριά από τις διακεκομμένες κατακόρυφες: ταυτίζονται; Διάβασε το τελευταίο βήμα — τι λέει για τις λύσεις της εξίσωσης;

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Στην εξίσωση 5 διά x − 3 = 2 διά x + 1, βρες τους περιορισμούς της, χωρίς να τη λύσεις.

   Λύση

   Οι παρονομαστές μηδενίζονται στο x = 3 και στο x = −1. Άρα x ≠ 3, x ≠ −1.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Οι παρονομαστές μιας κλασματικής εξίσωσης είναι x² − 16 και x + 4. Παραγοντοποίησε τον πρώτο και βρες το Ε.Κ.Π. των δύο παρονομαστών.

   Λύση

   x² − 16 = (x − 4)(x + 4). Ο δεύτερος παρονομαστής, x + 4, είναι ήδη παράγοντας του πρώτου. Ε.Κ.Π. = (x − 4)(x + 4).

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Λύσε την εξίσωση 3 διά x + 2 = 1 διά x − 4.

   Λύση

   Περιορισμοί x ≠ −2, x ≠ 4. 3(x − 4) = x + 2 3x − 12 = x + 2 2x = 14 x = 7, δεκτή. Έλεγχος: 3 διά 9 = 1 διά 3, 1 διά 3.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Λύσε την εξίσωση 8 διά x = x + 2.

   Λύση

   Περιορισμός x ≠ 0. 8 = x(x + 2) = x² + 2x, άρα x² + 2x − 8 = 0. Παραγοντοποίηση: (x + 4)(x − 2) = 0, x = −4 ή x = 2, και οι δύο δεκτές.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Δίνεται η εξίσωση k διά x − 2 = x + 1 διά x − 2, όπου k ένας αριθμός. Επειδή οι δύο παρονομαστές είναι ίδιοι, η μοναδική υποψήφια λύση είναι x = k − 1. Για ποια τιμή του k αυτή η λύση απορρίπτεται, κάνοντας την εξίσωση αδύνατη;

   Λύση

   Ο περιορισμός είναι x ≠ 2. Η υποψήφια λύση απορρίπτεται όταν k − 1 = 2, δηλαδή k = 3. Τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.