Εφαρμογές Μαθηματικών · Γεωμετρία · Κεφ. 2 · §2.4

Νόμος των συνημιτόνων

Θεωρία

Ο νόμος των συνημιτόνων

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ, με α, β, γ τις πλευρές απέναντι από τις γωνίες Α, Β, Γ αντίστοιχα, ισχύει:

α² = β² + γ² − 2βγ·συνΑ

Το ίδιο ισχύει κυκλικά και για τις άλλες δύο πλευρές — κάθε φορά η πλευρά στο αριστερό μέλος είναι απέναντι από τη γωνία μέσα στο συνημίτονο:

β² = α² + γ² − 2αγ·συνΒ και γ² = α² + β² − 2αβ·συνΓ

Ο τύπος δουλεύει σε κάθε τρίγωνο, όχι μόνο στο ορθογώνιο — αυτό είναι το νέο σε σχέση με το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Γρήγορος έλεγχος: σε τρίγωνο ΑΒΓ ξέρεις τις πλευρές α, γ και τη γωνία Β ανάμεσά τους. Ποιος τύπος δίνει το β;

Επέκταση του Πυθαγόρειου θεωρήματος: οξεία, ορθή ή αμβλεία

Στον τύπο α² = β² + γ² − 2βγ·συνΑ, το πρόσημο του συνΑ αποφασίζει αν ο τελευταίος όρος αφαιρείται, μηδενίζεται ή προστίθεται:

• Α οξεία → συνΑ > 0 → ο όρος αφαιρείται → α² < β² + γ²
• Α ορθή → συνΑ = 0 → α² = β² + γ² (το Πυθαγόρειο θεώρημα)
• Α αμβλεία → συνΑ < 0 → ο όρος προστίθεται → α² > β² + γ²

Στην εφαρμογή, στο «Σύρε το τρίγωνο», αυτό φαίνεται με δύο μπάρες: η μία δείχνει το α², η άλλη το β² + γ². Το κενό ανάμεσά τους είναι ακριβώς ο όρος 2βγ·συνΑ.

Οξυγώνιο, ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο, μόνο από τις πλευρές

Η προηγούμενη ιδέα δουλεύει και ανάποδα: αν ξέρεις τις τρεις πλευρές ενός τριγώνου, μπορείς να πεις τι είδους τρίγωνο είναι χωρίς να υπολογίσεις καμία γωνία — συγκρίνεις απλώς το τετράγωνο μιας πλευράς με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο.

Συχνό λάθος: ένας μαθητής, με πλευρές 5, 6, 9, συνέκρινε 5² με 6² + 9²: 25 < 117, και είπε «οξυγώνιο». Λάθος: πρέπει να συγκρίνεις το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς (9²) με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο (5² + 6²): 81 > 61, άρα το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο.

Σκέψου: γιατί πρέπει πάντα να διαλέγεις τη μεγαλύτερη πλευρά για τη σύγκριση;

Λύνω τρίγωνο από δύο πλευρές και τη γωνία τους (ΠΓΠ)

Αν ξέρεις δύο πλευρές ενός τριγώνου και τη γωνία ανάμεσά τους, το τρίγωνο είναι μοναδικό. Ο νόμος των συνημιτόνων σου δίνει πρώτα την τρίτη πλευρά (όπως στο Παράδειγμα 1). Μόλις τη βρεις, ξέρεις πια και τις τρεις πλευρές, οπότε βρίσκεις μια δεύτερη γωνία με τον ίδιο τύπο λυμένο ως προς το συνημίτονο (όπως παρακάτω, στο ΠΠΠ). Το συνημίτονο δεν αφήνει αμφιβολία: κάθε γωνία από 0° έως 180° έχει το δικό της συνημίτονο, ενώ το ημίτονο είναι ίδιο για τις ω και 180° − ω. Η τρίτη γωνία βρίσκεται από 180° − γωνία Α − γωνία Β.

Λύνω τρίγωνο από τις τρεις πλευρές (ΠΠΠ)

Αν ξέρεις μόνο τις τρεις πλευρές, λύνεις τον νόμο των συνημιτόνων ως προς το συνημίτονο:

συνΑ = β² + γ² − α² διά 2βγ

Υπολογίζεις το συνΑ, βρίσκεις τη γωνία Α, και με τον ίδιο τρόπο (κυκλικά) βρίσκεις και τη Β. Η τρίτη γωνία βγαίνει από το άθροισμα 180°.

Γιατί δεν υπάρχει τρίγωνο με πλευρές 2, 3, 6

Κάθε συνημίτονο, όποια κι αν είναι η γωνία, βρίσκεται πάντα ανάμεσα σε −1 και 1. Αν βάλεις τρεις πλευρές στον τύπο συνΑ = β² + γ² − α² διά 2βγ και βγει αριθμός έξω από αυτό το διάστημα, τότε δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. Με α = 6, β = 2, γ = 3:

συνΑ = 2² + 3² − 6² διά 2 · 2 · 3 = 13 − 36 διά 12 = −23 διά 12 ≈ −1,92

Το −1,92 δεν είναι έγκυρο συνημίτονο, άρα δεν υπάρχει τρίγωνο με αυτές τις πλευρές. Το ίδιο συμπέρασμα το ήξερες κιόλας από την τριγωνική ανισότητα: 2 + 3 = 5, που είναι μικρότερο από το 6 — δύο πλευρές πρέπει πάντα να έχουν άθροισμα μεγαλύτερο από την τρίτη. Ο νόμος των συνημιτόνων απλώς δείχνει το ίδιο πρόβλημα με άλλον τρόπο.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: γιατί ένα συνημίτονο μικρότερο από −1 σημαίνει «δεν υπάρχει τρίγωνο», και όχι απλώς «η γωνία είναι πολύ αμβλεία»;

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής, απάντησε πρώτα στην ερώτηση πρόβλεψης για το α² όταν η γωνία Α είναι αμβλεία. Μετά σύρε την κορυφή Α κοντά στην πλευρά ΒΓ, ώστε η γωνία να γίνει αμβλεία, και έλεγξε την πρόβλεψή σου.
2. Στο «Σύρε το τρίγωνο», μετακίνησε τις κορυφές ώστε η γωνία Α να γίνει ορθή, και παρατήρησε τις δύο μπάρες της περιοχής πληροφοριών να εξισώνονται: α² = β² + γ².
3. Σύρε ξανά ώστε η Α να γίνει οξεία, και μετά αμβλεία, παρακολουθώντας το κενό ανάμεσα στις δύο μπάρες — αυτό είναι ο όρος 2βγ·συνΑ, μία φορά αφαιρούμενος και μία φορά προστιθέμενος.
4. Επίλεξε «Επίλυσε» και πάτα «Επόμενο βήμα» μέχρι να λυθεί μια άσκηση ΠΓΠ· μετά πάτα «Από την αρχή» και δοκίμασε «Όλα τα βήματα» για να τα δεις όλα μαζί.
5. Πάτα «Νέα άσκηση» αρκετές φορές μέχρι να εμφανιστεί μια άσκηση ΠΠΠ χωρίς τρίγωνο, και δες γιατί οι δύο κύκλοι της κατασκευής δεν τέμνονται.
6. Πάτα N μέχρι να επιλεγεί μια κορυφή, και μετακίνησέ την με τα βέλη του πληκτρολογίου αντί με το ποντίκι.

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι α = 10, β = 7, γ = 6. Να γράψεις τον νόμο των συνημιτόνων για τη γωνία Α, χωρίς να κάνεις καμία πράξη.

   Λύση

   α² = β² + γ² − 2βγ·συνΑ, δηλαδή 10² = 7² + 6² − 2 · 7 · 6 · συνΑ.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Να χαρακτηρίσεις με (Σ) ή (Λ): α) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β² = α² + γ² − 2αγ·συνΒ β) Αν σε τρίγωνο είναι συνΑ = 0, τότε α² = β² + γ² γ) Η γωνία απέναντι από τη μικρότερη πλευρά ενός τριγώνου μπορεί να είναι αμβλεία.

   Λύση

   α) Σ — είναι ο νόμος των συνημιτόνων κυκλικά για τη Β. β) Σ — συνΑ = 0 σημαίνει Α = 90°, οπότε ο όρος 2βγ·συνΑ μηδενίζεται και μένει το Πυθαγόρειο θεώρημα. γ) Λ — μόνο η γωνία απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά μπορεί να είναι αμβλεία ή ορθή.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι β = 6 cm, γ = 4 cm και γωνία Α = 45°. Να υπολογίσεις την πλευρά α (θυμάσαι: συν45° = √2 διά 2 ≈ 0,7071).

   Λύση

   α² = 6² + 4² − 2 · 6 · 4 · 0,7071 = 52 − 33,94 ≈ 18,06, άρα α ≈ √18,06 ≈ 4,25 cm.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι α = 6 cm, β = 7 cm και γ = 9 cm. Να υπολογίσεις (κατά προσέγγιση) τη γωνία Α.

   Λύση

   συνΑ = 7² + 9² − 6² διά 2 · 7 · 9 = 94 διά 126 ≈ 0,7460. Με το πλήκτρο cos⁻¹ του κομπιουτεράκι (ή από τους τριγωνομετρικούς πίνακες): γωνία Α ≈ 41,75°, περίπου 42°.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Ένας μαθητής θέλει τρίγωνο με πλευρές 4, 5, 10. Χρησιμοποίησε τον νόμο των συνημιτόνων για να δείξεις ότι δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο, και εξήγησε το ίδιο συμπέρασμα και με την τριγωνική ανισότητα.

   Λύση

   Η πλευρά 10 είναι η μεγαλύτερη, απέναντι από τη γωνία Α: συνΑ = 4² + 5² − 10² διά 2 · 4 · 5 = 41 − 100 διά 40 = −59 διά 40 = −1,475, εκτός του διαστήματος [−1, 1] — δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο. Το ίδιο δείχνει η τριγωνική ανισότητα: 4 + 5 = 9, μικρότερο από το 10.