Εφαρμογές Μαθηματικών · Γεωμετρία · Κεφ. 1 · §1.1

Ισότητα τριγώνων

Θεωρία

Τι σημαίνει ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα

Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι ίσα όταν υπάρχει αντιστοιχία κορυφή προς κορυφή που κάνει τις τρεις πλευρές και τις τρεις γωνίες τους ίσες, μία προς μία: Α με Δ, Β με Ε, Γ με Ζ. Το γράφουμε ΑΒΓ = ΔΕΖ, με αυτή ακριβώς τη σειρά γραμμάτων· η σειρά δείχνει ποια κορυφή αντιστοιχεί σε ποια.

Σε ίσα τρίγωνα, κάθε πλευρά είναι απέναντι από μία γωνία. Οι αντίστοιχες πλευρές είναι απέναντι από ίσες γωνίες: αν η γωνία Α είναι ίση με τη γωνία Δ, τότε η απέναντι πλευρά ΒΓ είναι ίση με την απέναντι πλευρά ΕΖ.

Συχνό λάθος: να γράφεις ΑΒΓ = ΕΔΖ επειδή «είναι το ίδιο τρίγωνο», αλλάζοντας τη σειρά των γραμμάτων. Η σειρά δεν είναι διακοσμητική: ΑΒΓ = ΔΕΖ σημαίνει Α με Δ, ενώ ΑΒΓ = ΕΔΖ θα σήμαινε Α με Ε — διαφορετική αντιστοιχία, πιθανόν λάθος πλευρές να «ταιριάξουν».

Σκέψου: αν ΑΒΓ = ΔΕΖ και ΑΒ = 5, ποια πλευρά του δεύτερου τριγώνου είναι σίγουρα ίση με 5;

Το κριτήριο ΠΓΠ (πλευρά – γωνία – πλευρά)

Σκέψου πώς θα «έχτιζες» ένα τρίγωνο από το μηδέν, με χάρακα και μοιρογνωμόνιο. Αν ξέρεις δύο πλευρές του και τη γωνία ανάμεσά τους, τις σχεδιάζεις από μια κοινή κορυφή. Η τρίτη πλευρά είναι τότε υποχρεωμένη να ενώσει τα δύο ελεύθερα άκρα με έναν μοναδικό τρόπο, μία ευθεία γραμμή — καμία άλλη επιλογή.

Δύο πλευρές και η γωνία που σχηματίζουν ίσες ⇒ τα τρίγωνα είναι ίσα (κριτήριο ΠΓΠ)

Στην εφαρμογή, «Κριτήρια ισότητας» → «ΠΓΠ», βλέπεις ακριβώς αυτό: δύο πλευρές (χοντρές, με τις τιμές τους) και η γωνία ανάμεσά τους, σχεδιασμένες σε ένα τρίγωνο. Όποιες τιμές κι αν δώσεις με τα ρυθμιστικά, βγαίνει πάντα ένα μόνο τρίγωνο.

Σκέψου: αν σου δώσουν δύο πλευρές ενός τριγώνου και τη γωνία τους, πόσοι διαφορετικοί τρόποι υπάρχουν να «κλείσεις» το τρίγωνο;

Το κριτήριο ΓΠΓ (γωνία – πλευρά – γωνία)

Αυτή τη φορά ξέρεις μία πλευρά και τις δύο γωνίες στα άκρα της. Σχεδίασε την πλευρά, και από κάθε άκρο της τράβηξε μία ημιευθεία με τη γωνία που σου δόθηκε. Οι δύο ημιευθείες τέμνονται σε ένα μόνο σημείο — αυτή είναι η τρίτη κορυφή, χωρίς άλλη επιλογή.

Μία πλευρά και οι δύο γωνίες πάνω σε αυτήν ίσες ⇒ τα τρίγωνα είναι ίσα (κριτήριο ΓΠΓ)

Το κριτήριο ΠΠΠ (πλευρά – πλευρά – πλευρά)

Αν ξέρεις μόνο τις τρεις πλευρές, χωρίς καμία γωνία, φτάνουν κι αυτές. Σχεδίασε τη μία πλευρά σαν βάση. Από το ένα άκρο, η δεύτερη πλευρά μπορεί να καταλήξει οπουδήποτε πάνω σε έναν κύκλο με αυτή την ακτίνα· από το άλλο άκρο, η τρίτη πλευρά πάνω σε έναν άλλο κύκλο. Οι δύο κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία, συμμετρικά πάνω και κάτω από τη βάση — το ένα είναι απλώς το άλλο γυρισμένο σαν καθρέφτης, το ίδιο τρίγωνο. Άρα ένα μόνο τρίγωνο, ως προς σχήμα και μέγεθος.

Και οι τρεις πλευρές ίσες ⇒ τα τρίγωνα είναι ίσα (κριτήριο ΠΠΠ)

Οι δύο κύκλοι όμως δεν τέμνονται πάντα. Χρειάζεται κάθε πλευρά να είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο — η τριγωνική ανισότητα. Αλλιώς τα δύο άκρα «δεν φτάνουν» να συναντηθούν και δεν κλείνει τρίγωνο.

Γρήγορος έλεγχος: τρίγωνο με πλευρές 2, 3, 9 — κλείνει;

Γιατί το ΠΠΓ δεν αρκεί

Δύο πλευρές και μία γωνία που δεν βρίσκεται ανάμεσά τους (ΠΠΓ) μοιάζει με το ΠΓΠ, αλλά δεν είναι κριτήριο. Δίνεται η γωνία Α, η πλευρά ΑΓ πάνω σε μία πλευρά της γωνίας, και το μήκος της ΒΓ — το Β όμως δεν είναι σταθερό, είναι εκεί όπου η ΒΓ «κρέμεται» από το Γ και ακουμπά την άλλη πλευρά της γωνίας. Αυτό είναι σαν κύκλος με κέντρο Γ και ακτίνα ΒΓ: μπορεί να τέμνει την ημιευθεία της γωνίας σε δύο σημεία, σε ένα, ή σε κανένα.

Συχνό λάθος: να μπερδεύεις το ΠΠΓ με το ΠΓΠ, επειδή και τα δύο έχουν «δύο πλευρές και μία γωνία». Η διαφορά είναι αν η γωνία βρίσκεται ανάμεσα στις δύο πλευρές (ΠΓΠ, κριτήριο) ή όχι (ΠΠΓ, όχι κριτήριο).

Πρόβλεψε: δίνονται ΑΓ = 6, ΒΓ = 4 και η γωνία Α = 30° (απέναντι από τη ΒΓ). Πόσα διαφορετικά τρίγωνα έχουν αυτά τα στοιχεία: κανένα, ένα, ή δύο;

Γιατί το ΓΓΓ δεν αρκεί

Οι τρεις γωνίες (ΓΓΓ) καθορίζουν το σχήμα ενός τριγώνου, όχι όμως το μέγεθός του. Δύο τρίγωνα με τις ίδιες τρεις γωνίες, π.χ. 50°, 60° και 70°, μπορεί να είναι το ένα πολύ μεγαλύτερο από το άλλο σε κάθε πλευρά — ίδιο σχήμα, διαφορετικό μέγεθος. Δεν είναι ίσα, είναι όμοια (θα το δεις αναλυτικά στην §1.5).

Γρήγορος έλεγχος: δύο τρίγωνα έχουν τις ίδιες τρεις γωνίες. Είναι υποχρεωτικά ίσα;

Ισότητα ορθογωνίων τριγώνων

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η ορθή γωνία (90°) είναι ήδη γνωστή, οπότε φτάνουν λιγότερα επιπλέον στοιχεία από ό,τι σε τυχαίο τρίγωνο.

• Δύο κάθετες πλευρές ίσες: στην ουσία είναι το κριτήριο ΠΓΠ, αφού η ορθή γωνία είναι η γωνία ανάμεσά τους.
• Η υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά ίσες: μοιάζει με ΠΠΓ (δύο πλευρές, γωνία που δεν σχηματίζουν), αλλά εδώ είναι κριτήριο. Η υποτείνουσα είναι πάντα η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου, αφού είναι απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία, την ορθή· γι' αυτό ο κύκλος της κατασκευής τέμνει την ημιευθεία μία μόνο φορά, όχι δύο όπως στο γενικό ΠΠΓ.
• Η υποτείνουσα και μία οξεία γωνία ίσες: η τρίτη γωνία προκύπτει αυτόματα (180° − 90° − η γωνία), οπότε στην ουσία είναι το κριτήριο ΓΠΓ.

Σειρά σου: δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν τις δύο κάθετες πλευρές τους ίσες, μία προς μία. Ποιο κριτήριο εφαρμόζεις;

Πώς χρησιμοποιούμε την ισότητα τριγώνων

Η ισότητα τριγώνων δεν χρησιμεύει μόνο για να συγκρίνεις δύο έτοιμα τρίγωνα. Είναι κυρίως εργαλείο απόδειξης: δείχνεις ότι δύο τρίγωνα μέσα σε ένα σχήμα είναι ίσα, και από εκεί «κερδίζεις» ότι κάποιες πλευρές ή γωνίες τους είναι ίσες, χωρίς να τις μετρήσεις.

Παράδειγμα: σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ, έστω Μ το μέσο της ΒΓ (εκεί καταλήγει η διάμεσος από το Α). Τα τρίγωνα ΑΒΜ, ΑΓΜ έχουν:

1) ΑΒ = ΑΓ (δεδομένο)

2) ΒΜ = ΓΜ (το Μ είναι μέσο της ΒΓ)

3) ΑΜ κοινή πλευρά

άρα είναι ίσα (ΠΠΠ), οπότε η Αγωνία ΜΒ = Αγωνία ΜΓ. Επειδή τα Β, Μ, Γ είναι στην ίδια ευθεία, οι δύο γωνίες είναι και παραπληρωματικές· ίσες και παραπληρωματικές μαζί σημαίνει ότι η καθεμιά είναι 90°, άρα η ΑΜ είναι και ύψος. Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει επίσης ότι η Βγωνία ΑΜ = Γγωνία ΑΜ, άρα η ΑΜ είναι και διχοτόμος. Η διάμεσος προς τη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι λοιπόν και ύψος και διχοτόμος — τα τρία στοιχεία πέφτουν στο ίδιο τμήμα.

Χωρίς να κοιτάξεις πάνω: ποιο κριτήριο χρησιμοποιήσαμε για να αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΑΓΜ είναι ίσα;

Δεύτερο παράδειγμα: κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός τμήματος ισαπέχει από τα δύο άκρα του. Έστω Σ σημείο πάνω στη μεσοκάθετο του ΑΒ, και Μ το σημείο όπου η μεσοκάθετος τέμνει το ΑΒ. Τα τρίγωνα ΣΜΑ, ΣΜΒ έχουν:

1) ΜΑ = ΜΒ (το Μ είναι μέσο του ΑΒ)

2) η Σγωνία ΜΑ = η Σγωνία ΜΒ = 90° (η ΣΜ είναι κάθετη στην ΑΒ)

3) ΣΜ κοινή πλευρά

άρα είναι ίσα (ΠΓΠ), οπότε ΣΑ = ΣΒ.

Επιπλέον — για αργότερα

Στην §1.5 θα δεις τα όμοια τρίγωνα: ίδιες γωνίες, πλευρές σε σταθερή αναλογία αντί για ίσες — η ιδέα που μόλις είδες στο ΓΓΓ, μόνο που εκεί θα μάθεις πώς να συγκρίνεις και το μέγεθος, με τον λόγο ομοιότητας.

Δραστηριότητες

1. Στην αρχική κατάσταση της εφαρμογής («Κριτήρια ισότητας» → «ΠΓΠ»), σύρε τις τιμές των δύο πλευρών και της γωνίας: όσο κι αν τις αλλάζεις, βγαίνει πάντα ένα μόνο τρίγωνο.
2. Απάντησε στην ερώτηση πρόβλεψης που εμφανίζεται στην αρχή (για τις ΑΓ, ΒΓ και τη γωνία Α). Μετά επίλεξε «Δεν αρκούν» → «ΠΠΓ» και δες τον κύκλο να τέμνει την ημιευθεία σε δύο σημεία.
3. Επίλεξε «Κριτήρια ισότητας» → «ΠΠΠ» και σύρε μία πλευρά ώστε να γίνει πολύ μεγάλη σε σχέση με τις άλλες δύο: το τρίγωνο εξαφανίζεται και εμφανίζεται η εξήγηση γιατί δεν κλείνει.
4. Επίλεξε «Δεν αρκούν» → «ΓΓΓ»: δες δύο τρίγωνα με τις ίδιες γωνίες αλλά διαφορετικό μέγεθος, σχεδιασμένα μαζί, με τον ίδιο αριθμό τόξων σε κάθε ίση γωνία.
5. Επίλεξε «Ορθογώνια τρίγωνα» και σύγκρινε τα δύο κριτήρια, «η υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά» και «η υποτείνουσα και μία οξεία γωνία»: σε ποιο δίνεται γωνία εκτός από την ορθή;

Ασκήσεις

1. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Δίνεται ότι ΑΒΓ = ΔΕΖ, με ΑΒ = 5, ΒΓ = 7, ΑΓ = 6, και η γωνία Β = 80°. Βρες τις ΔΕ, ΕΖ και τη γωνία Ε.

   Λύση

   Η αντιστοιχία είναι Α με Δ, Β με Ε, Γ με Ζ. Άρα ΔΕ = ΑΒ = 5, ΕΖ = ΒΓ = 7, και η γωνία Ε = η γωνία Β = 80°.

2. Επίπεδο 1 · Κατανοώ Δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και μία γωνία ίση, η οποία δεν βρίσκεται ανάμεσα στις δύο πλευρές. Είναι σίγουρα ίσα; Εξήγησε.

   Λύση

   Όχι απαραίτητα. Αυτό είναι το ΠΠΓ, που δεν είναι κριτήριο ισότητας: υπάρχουν τιμές για τις οποίες τα ίδια αυτά τρία στοιχεία χωράνε σε δύο διαφορετικά τρίγωνα.

3. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Κλείνει τρίγωνο με πλευρές 4, 5 και 10; Αιτιολόγησε με την τριγωνική ανισότητα.

   Λύση

   Όχι: 4 + 5 = 9, που δεν είναι μεγαλύτερο από το 10. Κάθε πλευρά ενός τριγώνου πρέπει να είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο.

4. Επίπεδο 2 · Εφαρμόζω Δύο ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ (ορθή γωνία στο Α και στο Δ) έχουν υποτείνουσες ΒΓ = ΕΖ = 10 και κάθετες πλευρές ΑΒ = ΔΕ = 6. Είναι ίσα; Ποιο κριτήριο εφαρμόζεις;

   Λύση

   Ναι, είναι ίσα: έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά ίσες, το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων για αυτή την περίπτωση.

5. Επίπεδο 3 · Σκέφτομαι Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ, φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΝ της γωνίας Α (το Ν είναι πάνω στη ΒΓ). Απόδειξε ότι ΒΝ = ΓΝ, γράφοντας τα βήματα στο στιλ «Τα τρίγωνα … έχουν: 1) … 2) … 3) … άρα είναι ίσα».

   Λύση

   Τα τρίγωνα ΑΒΝ, ΑΓΝ έχουν: 1) ΑΒ = ΑΓ (δεδομένο) 2) η Βγωνία ΑΝ = η Γγωνία ΑΝ (η ΑΝ είναι διχοτόμος) 3) ΑΝ κοινή πλευρά. Άρα είναι ίσα (ΠΓΠ), οπότε ΒΝ = ΓΝ.